Trigonometría en p-normas.

Abstract

La circunferencia es una de las primeras formas geom´etricas con las que nos encontramos. Se trata de un objeto ✭✭perfecto✮✮, y nuestra familiaridad con ella puede hacernos perder de vista su relevancia. Las funciones seno y coseno surgen de modo natural cuando intentamos describirla. En este trabajo nos proponemos desarrollar una trigonometr´ıa an´aloga para objetos geom´etricos que no son exactamente una circunferencia. Nuestro modelo primario es la p-circunferencia o ✭✭psquircle✮✮, una superelipse definida como el conjunto de los puntos (x, y) del plano que satisfacen la ecuaci´on |x| p + |y| p = 1 para alg´un n´umero real p ≥ 1. La circunferencia unidad del plano eucl´ıdeo se obtiene para p = 2, y nuestro estudio generaliza este caso. De la investigaci´on realizada se deriva una consecuencia importante, y es que las posibilidades de generalizaci´on son m´ultiples, si bien no todas ellas retienen las mismas propiedades deseables, por lo que es necesario elegir la que m´as convenga al uso que se les pretenda dar.

The circumference is one of the first geometric shapes that we come across. It is a ✭✭perfect✮✮ object, and our familiarity with it can make us lose sight of its relevance. The sine and cosine functions arise naturally when we try to describe it. In this work we propose to develop an analogous trigonometry for geometric objects that are not exactly a circle. Our primary model is the p-circumference or ✭✭p-squircle✮✮, a superelipse defined as the set of points (x, y) in the plane that satisfy the equation |x| p + |y| p = 1 for some real number p ≥ 1. The unit circumference of the Euclidean plane is obtained for p = 2, and our study generalizes this case. An important consequence of the research performed here is that the possibilities for a generalization are multiple, although not all of them retain the same desirable properties, so it is necessary to choose the one that best suits the use intended.