Métodos efectivos en álgebras con bases PBW: G-Álgebras y Álgebras de Yang-Baxter

Abstract

El célebre teorema de Poincaré-Brikhoff-Witt establece que si ${x_1,x_n\}$ es un k-base de un álgebra de Lie, entonces el conjunto de monomios estándar $\{x_1{\alpha_1}\cdots x_n{\alpha_n}\}_{\alpha_i\in \mathbb{N}}$ es una k-base de su álgebra envolvente universal. Esta propiedad, que las álgebras anvolventes universales comparten con muchas otras álgebras asociativas, es u na de las razones por las que la mayoría de los algoritmos utilizados en los anillos de polinomios conmutativos también funcionan en un contexto no necesariamente conmutativo. De hecho, a pesar de que la teoría de bases de Gröbner ha sido extendida a álgrebaras que no poseen bases monomios estándar (véanse los trabajos de Mora en el álgrabra libre), parece que los mejores resultados desde un punto de vista computacional se obtiene en álgebras donde una de estas bases, también llamadas bases PBW (Poincaré-Birkhoff-Witt), existe. El objetivo de este trabajo es estudiar, desde unpunto de vista computacional, la clase de las álgrebras en las que existe una base PBW. Más concretamente, nos centramos en álgebras que además son finitamente presentadas por un conjunto finito de generadores $X=\{x_1,x_n\}$ y un conjunto de relaciones $Q\subseteq mayor X menor \times k mayor X menor $ finito(el llamado sistema de reducción). Como demostramos en el primer capítulo, cuando $Q=\{(W_{\sigma}f, _{\sigma})\}_{\sigma}$ es un sistema de reducción completo compatible con algún orden monomial es $k mayor X menor $ y todos los $W_{\sigma}$ están desordenados, el conjunto de monomios estándar en los generadores $\{x_1,x_n\}$ es una base PBW de álgebra $k mayor x manor /l_Q$(donde $l_Q$ denota al ideal bilátero generado pro $Q$) si, y sólo si, todo monomio $x_ix_i$ con $i mayor j$ es el termino principal de una relación de $Q$. Nótese que esto último se puede comprobar de forma efectiva.