Topologías no conmutativas y haces

Abstract

A mediados de los años 50, Serre traslada la noción de haz sobre un espacio topológico al contexto de variedades algebraicas, reemplazando la topología usual por la Zariski. Posteriormente, A. Grothendieck generaliza esta idea e introduce los esquemas afines que sustituyen a las variedades algebraicas. Esto supone una revolución en los métodos y conceptos clásicos de la geometría algebraica, y es a partir de entonces cuando se desarrolla una geometría algebraica moderna mediante el enguaje de haces y esquemas. El hecho de poder asociar a todo anillo conmutativo un esquema afín que recupera información del anillo, ha permitido elaborar un diccionario geométrico-algebraico completo con el que podemos traducir los conceptos del álgebra conmutativa al lenguaje de la geometría algebraica y viceversa. La potencia de esta herramienta hace que posteriormente muchos autores intenten obtener un diccionario análogo para el caso de anillos no conmutativos. Esto da lugar a diferentes propuestas de esquemas afines no conmulativos que plantean como espectro no conmutativo generalizaciones directas de la topología de Zariski. En dichos espectros, sólo se obtiene un haz de estructura bajo ciertas condiciones del anillo. Sin embargo, para anillos arbitrarios estas construcciones no devuelven en general un haz sino un prehaz y tampoco la hacificación resuelve el problema pues al haz obtenido por hacificación generalmente le corresponde un anillo mayor que el de partida. Más recientemente varios autores se proponen resolver este problema desde un punto vista diferente planteando un nuevo concepto de espacio topológico dotado de una estructura no conmutativa, mediante un operador que juega el rol de la intersección de abiertos. Este es el caso de autores tales como García Román , Van Oystaeyen o Borceux-Van den Bosche.