Sobre polinomios de Szegö y fórmulas de cuadratura en la circunferencia unidad

Abstract

Estudio de fórmulas de cuadratura para la integración aproximada de funciones definidas sobre la circunferencia unidad. Se analizan distintos métodos para aproximar integrales. Para integrar numéricamente expresiones de este tipo se utilizan fórmulas de cuadraturas lineales con nodos distintos situados en la circunferencia unidad. Si bien en el caso de integrales sobre intervalos acotados del eje real suelen emplearse fórmulas de cuadratura exactas sobre espacios de polinomios algebraicos -en base al conocido Teorema de Aproximación de Weierstrass-, en el caso que no ucupa, de integrados continuos en la circunferencia unidad, este protagonismo se traslada a ciertos espacios de los denominados Polinomios de Laurent (o L-polinomios). En el mismo sentido, y para el caso de integrados analíticos, la conocida relación entre fórmulas de cuadratura de tipo interpolatorio para integrales en un intervalo del eje real y los Aproximante de Padé ( o tipo de Padé ) a la Transformada de Cauchy de la correspondiente función peso (Función de Markov) tiene, para el caso que nos ocupa, su correlato en la conexión con los Aproximante de Padé bipuntuales a la denominada Transformada Herglotz-Riesz. Se consideran fundamentalmente dos tipos de fórmulas de cuadratura, las de tipo interpolatoria, exactas en ciertos subespacios de Polinomios de Laurent, y las denominadas fórumulas de Szegö, basadas en los polinomios ortogonales sobre el círculo unidad que llevan el mismo nombre. El estudio de las propiedades y, fundamentalmente, los resultados de convergencia para sucesiones de ambos tipos de fórmulas de cuadratura constituyen el núcleo fundamental del presente trabajo que se completa con un resumen de resultados previos sobre fórmulas de cuadratura y sus estrechas relaciones con temas relativos a la interpolación y la ortogonalidad (Capítulo I); un estudio acerca de la interpolación de funciones continuas en la circunferencia unidad (de gran interés en sí mismo), en el que destaca una interesante extensión del clásico Teorema de Fejér (Capítulo II); la construcción explícita de algunas de las fórmulas de cuadratura estudiadas para algunas funciones peso particulares (de tipo Chebyshev) y la ilustración de los resultados obtenidos con diversos ejemplos numéricos; y, finalmente, dos interesantes apéndices donde se examina, por un lado, la viabilidad numérica de diversos Aproximantes de Padé bipuntuales conectados con las fórmulas de cuadratura y, por otro, una relación de problemas abiertos y aplicaciones para abordar en un futuro próximo, que concluye con la aplicación de los Polinomios de Szegö a un tema de tanta actualidad como el del procesamiento de señales digitales.