Series de Fourier

Abstract

En este trabajo recogemos algunos resultados clásicos sobre series de Fourier. Comenzaremos introduciendo el sistema trigonométrico y estableciendo algunas de sus propiedades, como la desigualdad de Bessel. Acto seguido, estudiaremos la convergencia de la serie de Fourier. Esta vendrá recogida en resultados como el teorema de Bernstein o los teoremas de Fejér y Dirichlet-Jordan. Además, veremos que la serie de Fourier aparece a la hora de resolver la ecuación del calor o la ecuación de Laplace, y daremos una prueba de la desigualdad isoperimétrica para curvas planas. Para acabar, mostraremos algunos resultados sobre velocidad de convergencia, la fórmula de sumación de Poisson o el fenómeno de Gibbs.

In this memoir we collect several classical results about Fourier series. In order to that, we start introducing the trigonometric system and some of its properties, such as the Bessel inequality. Right after, we study the convergence of the Fourier series. This will be collected in Bernstein’s theorem or Fejer and Dirichlet-Jordan theorems. Besides, we will see that some equations, like the heat equation or the Laplace equation, can be solved with Fourier series. Also, we we give a proof of the isoperimetric inequality for plane curves. To finish this work, we will relate the decay of the Fourier coefficients to the speed of convergence of the Fourier series, the Poisson sumation formula or the Gibbs phenomenon.