Introducción al análisis de Fourier

Abstract

En este trabajo se aborda la teor´ıa b´asica de las series de Fourier en espacios de funciones continuas e integrables sobre la circunferencia unidad. En el Cap´ıtulo 1 se introducen los conceptos de coeficiente de Fourier y serie de Fourier asociada a una funci´on integrable; se analiza el orden de magnitud de tales coeficientes; se define la convoluci´on de funciones y se estudian los n´ucleos de sumabilidad en el marco de los espacios homog´eneos; finalmente, se expone la teor´ıa en espacios de funciones de cuadrado integrable, conect´andola con la teor´ıa de espacios de Hilbert. En el Cap´ıtulo 2 se caracterizan los espacios de Banach homog´eneos que admiten convergencia en norma como aquellos que admiten conjugaci´on, se demuestra el principio de localizaci´on y se establecen algunos criterios de convergencia puntual. Por ´ultimo, en el Cap´ıtulo 3 se profundiza en el estudio de la funci´on conjugada desde la ´optica del an´alisis complejo, probando en particular el teorema de M. Riesz relativo a la continuidad del operador de conjugaci´on sobre los espacios de Lebesgue.

In this work, the basic theory of Fourier series in spaces of continuous and of integrable functions on the unit circle is addressed. In Chapter 1, the concepts of Fourier coefficient and Fourier series associated with an integrable function are introduced; the order of magnitude of such coefficients is analyzed; the convolution of functions is defined and summability kernels are studied in the framework of homogeneous spaces; finally, the theory in spaces of square integrable functions is presented, connecting it with the theory of Hilbert spaces. In Chapter 2, homogeneous Banach spaces that allow convergence in norm are characterized as those that admit conjugation, the principle of localization is demonstrated, and some pointwise convergence criteria are established. Finally, in Chapter 3, the conjugate function is studied from a complex variable viewpoint and, in particular, the M. Riesz theorem regarding the continuity of the conjugation operator on Lebesgue spaces is proved.