Ceros de las funciones holomorfas

Abstract

Los productos infinitos, como su nombre sugiere, deben entenderse en paralelo a las series, pero reemplazando sumas por productos parciales. Constituyen una herramienta fundamental del an´alisis complejo, donde el c´elebre teorema de factorizaci´on de Weierstrass permite representar cualquier funci´on holomorfa como producto infinito, identificando claramente sus ceros. Se abordan ejemplos tales como la factorizaci´on de la funci´on seno, la expresi´on de las funciones Gamma de Euler y zeta de Riemann en forma de producto infinito, o las propiedades b´asicas de los productos de Blaschke. Como aplicaci´on se contempla la resoluci´on de problemas de interpolaci´on (en combinaci´on con el teorema de Mittag-Leffler) y aproximaci´on (concretamente, el teorema de M¨untz-Sz´asz).

Infinite products, as their name suggests, must be understood in parallel to series, but replacing sums with partial products. They constitute a fundamental tool of complex analysis, where the celebrated Weierstrass factorization theorem allows us to represent any holomorphic function as an infinite product, clearly identifying its zeros. Examples such as the factorization of the sine function, the expression of the Euler Gamma and Riemann zeta functions in the form of an infinite product, or the basic properties of Blaschke products, are given. As an application, the solutions to an interpolation problem (in combination with the Mittag-Leffler theorem) and an approximation problem (namely, the M¨untz-Sz´asz theorem) are presented.