Matemáticas y epidemiología: modelos y conclusiones

Abstract

Thoroughout this work we will study the history of epidemiological models, the epidemiology concept and its objectives and several models frequently used in epidemiology. Our goal will be, in particular, analyze from a mathematical point of view several compartmental deterministic models and deduce from them useful conclusions. We will focus on the models SI, SIS and SIR intruduced by Hamer, Mckendrick and Kermack that model current diseases like AIDS, diseases produced by bacteria and, in general, several viral diseases, such as the flu. It is clear that the modeling of any disease is necessary for the control of epidemics and, in particular, to evaluate the efficiency of vaccinations aimed at controlling, or even extinguish, them. This modeling is done, mostly, through Ordinary Differential Equations (also called abbreviated ODE’s). The contributions from different authors along the history have been important to study the models in an optium way establishing for it theorems that allow us to understand them.

A lo largo de este trabajo estudiaremos la historia de los modelos epidemiológicos, el concepto de la epidemiología, cuáles son sus objetivos y varios modelos epidemiológicos usados frecuentemente. Nuestro objetivo será, en particular, analizar desde un punto de vista matemático, varios modelos deterministas compartimentales y extraer conclusiones útiles. Nos centraremos en los modelos SI, SIS, y SIR introducidos por Hamer, McKendrick y Kermack que modelizan enfermedades actuales como el SIDA, enfermedades producidas por bacterias y, en general, varias enfermedades víricas, como la gripe. Es claro que la modelización de cualquier enfermedad es necesaria para el control de epidemias y para poder evaluar la eficiencia de las vacunaciones con la finalidad de controlar, o incluso extinguir, las mismas. Dicha modelización se realiza, en la mayoría de los casos, mediante ecuaciones diferenciales ordinarias (comúnmente llamadas de manera abreviada EDO’S). Las aportaciones de distintos autores a lo largo de la historia han sido relevantes para poder estudiar los modelos de manera óptima estableciéndose para ello teoremas que nos permiten comprender los mismos.