Espacios recubridores

Abstract

Este trabajo est´a dedicado a una introducci´on al estudio de los espacios recubridores de un espacio topol´ogico X. Esta teor´ıa est´a estrechamente relacionada con los subgrupos del grupo fundamental π1(X) de X y, al mismo tiempo, puede ser usada para calcular tal grupo. De hecho, bajo ciertas condiciones razonables, probamos que el recubridor asociado al subgrupo trivial de π1(X) existe y es simplemente conexo. Se trata del recubridor universal de X cuyo grupo de transformaciones de recubrimiento es isomorfo a π1(X). Adem´as, bajo las mismas condiciones, demostramos que existe una correspondencia biyectiva entre los recubridores de X (salvo isomorfismos) y los subgrupos de π1(X) (m´odulo conjugaci´on), y que el recubridor universal recubre a cada uno de los recubridores de X. Una herramienta esencial para probar los anteriores resultados son los teoremas de elevaci´on para espacios recubridores cuyo estudio se aborda en la primera parte del trabajo. A lo largo del trabajo, tambi´en se presentan ejemplos adecuados que ilustran los resultados te´oricos demostrados.

The aim of this undergraduate thesis project is to develop an introduction to the covering space theory of a topological space X. This theory is closely related to the subgroups of the fundamental group π1(X) of X and, in addition, it may be used to describe π1(X). In fact, under certain natural conditions, we prove that the covering space Xe, which is associated with the trivial subgroup of π1(X), exists and is simply connected. Xe is the universal covering space of X and its group of covering transformations is isomorphic to π1(X). Moreover, under the same conditions, we deduce that there exists a one-to-one correspondence between the equivalence classes of isomorphic covering spaces and the conjugacy classes of subgroups of π1(X). Furthermore, Xe is a covering space of each one of the covering spaces of X. An essential tool in order to prove the previous results are the lifting theorems for covering spaces which we discuss in the first part of the dissertation. Throught the undergraduate thesis project, we also present several interesting examples which illustrate all the theoretical results.