Elementos algebraicos y ecuaciones polinomiales de grado pequeño

Abstract

El objetivo principal de esta memoria es tratar de profundizar en algunos conceptos de la Teor´ıa de Galois. En primer lugar, comenzaremos probando la existencia de n´umeros trascendentes de forma no constructiva utilizando la equipotencia de conjuntos y de forma constructiva, demostrando expl´ıcitamente que el n´umero de Euler es trascendente. Luego usaremos la resultante de dos polinomios para demostrar de forma constructiva que la suma y el producto de elementos algebraicos es tambi´en algebraico. Tambi´en presentamos un m´etodo alternativo de resoluci´on de las ecuaciones de tercer y cuarto grado gracias a las Transformaciones de Tschirnhaus. Finalmente, clasificaremos los grupos de Galois de c´ubicas y cu´articas y caracterizaremos cu´ando un polinomios de grado cinco es resoluble.