Integración numérica geométrica con aplicación al problema de N cuerpos.
Author
Padilla Expósito, EstherDate
2020Abstract
En la presente memoria se pretende estudiar algunos m´etodos num´ericos
que preservan algunas propiedades geom´etricas de las soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, con aplicaci´on al problema
de N cuerpos. Inicialmente introducimos el concepto de transformaciones
simpl´ecticas, comprobando que el flujo de un sistema hamiltoniano representa una tal transformaci´on, en particular, demostramos que en tales
sistemas hamiltonianos el flujo preserva volumen y orientaci´on. Adem´as
estudiaremos la estabilidad de los puntos de equilibrio de sistemas hamiltonianos no lineales. A continuaci´on se pasa a analizar el problema de N
cuerpos, sistema hamitoniano cuya soluci´on exacta es desconocida para
N > 3, estudiando las ´orbitas del problema de Kepler, caso especial del
problema de dos cuerpos, y estableceremos resultados como el Teorema
Centro de Lyapunov que nos ayudar´a a probar la existencia de soluciones
peri´odicas de peque˜na amplitud para sistemas aut´onomos en un entorno de
un punto de equilibrio y lo aplicaremos en el problema restringido de tres
cuerpos. Posteriormente se introducen los m´etodos de Euler simpl´ectico
y St¨ormer-Verlet para sistemas aut´onomos, particularizando a sistemas
hamiltonianos, y estudiaremos algunas de sus propiedades, tales como, simetr´ıa, reversibilidad y simplecticidad. Finalmente ilustraremos mediante
algunos ejemplos la conservaci´on del hamiltoniano en intervalos de tiempo
suficientemente amplios por parte de los m´etodos de Euler simpl´ectico y
St¨ormer-Verlet, en comparaci´on con los m´etodos cl´asicos Euler expl´ıcito y Runge. In the present manuscript we study some numerical method that preserve
some geometric properties of the solution of systems of ordinary differential equations, with application to the N-body problem. First, we will study
symplectic transformations, checking that the flow of Hamiltonian systems represents such a transformation. It this proved that in such Hamiltonian systems the flow preserves volume and orientation. Also we study
the stability of equilibria of a non-linear Hamiltonian system. Next, we
will analyze the N-body problem, a Hamiltonian system whose exact solution is unknown for N > 3, by studing the orbits of the Kepler problem, a
special case of a 2-body problem, we will set results as the Lyapunov Center Theorem that helps us to prove the existence of periodic solutions of
small amplitude for autonomous differential systems in a neighborhood of
its equilibria, and we apply this to study the restricted three body problem.
Later, we will introduce the symplectic Euler and St¨ormer-Verlet method
for autonomous sysmtems, particularly for hamiltonian systems, and we
will study some properties, such as symmetry, reversibility and symplecticity. Finally some examples are presented comparing the symplectic Euler
and St¨ormer-Verlet methods with other clasica methods, like explicit Euler
and Runge methods, according to the conservation of the Hamiltonian in
sufficiently large time intervals.