Aproximación polinómica por mínimos cuadrados y uniforme

Abstract

En la presente memoria se pretende profundizar en el estudio de aproximaci´on polin´omica en espacios normados. Empezaremos ampliando el estudio del ajuste polin´omico por m´ınimos cuadrados. Inicialmente introducimos conceptos como espacio pre-Hilbert o matriz de Gram, desarrollaremos resultados cruciales para nuestro proyecto y veremos aplicaciones para el caso discreto y continuo. A partir de la Secci´on 1.4 profundizaremos en los polinomios ortogonales para dar comienzo al cap´ıtulo 2 que ampliar´a la aproximaci´on a espacios normados. En este cap´ıtulo se obtendr´an resultados y condiciones para la existencia y unicidad de la mejor aproximaci´on en espacios normados, con ´enfasis en la norma uniforme. Tambi´en para finalizar el proyecto se presentar´a el “Algoritmo de Remez”, un algoritmo recursivo para la obtenci´on aproximada de la mejor aproximaci´on polin´omica uniforme. Y por ´ultimo, mostraremos el correspondiente algoritmo implementado en Matlab con la visualizaci´on de alguno ejemplos concretos.

This report aims to deepen the study of polynomial approximation in normed spaces. To begin with, we will develope the study of polynomial least squares approximation. First step will be to introduce concepts such as pre-Hilbert space or Gram matrix, after that crucial results for our project will be presented and applications for discrete and continuous cases will be shown. From the Section 1.4 on, we will delve into orthogonal polynomials to start with the second chapter in which approach to normed spaces will be developed. In this chapter, results and conditions for the existence and uniqueness of the best approximation in normed spaces will be obtained, with a strong focus on uniform norm. To conclude this project, the “Remez Algorithm” will be presented as a recursive algorithm for obtaining the best uniform polynomial approximation and we will finish with its implementation in MATLAB by displaying concrete examples.