Introduction to the analysis of systems in interaction with thermal baths: Langevin approach

Abstract

Este trabajo se plantea como una introducci´on al estudio de la din´amica de sistemas que se encuentran en interacci´on con ba˜nos t´ermicos. Abordaremos dos escenarios: la interacci´on con un ´unico ba˜no t´ermico, y la interacci´on con dos ba˜nos t´ermicos distintos. En el primer escenario el sistema evoluciona hasta alcanzar un estado estacionario de equilibrio t´ermico con el ba˜no. Mientras que en el segundo escenario la acci´on combinada de los distintos ba˜nos determina la evoluci´on del sistema hacia un estado estacionario de no equilibrio en el que emergen propiedades de transporte, caracterizadas por corrientes de calor entre los ba˜nos y el sistema. En el caso de la interacci´on con un ´unico ba˜no consideramos sistemas sencillos en los que es posible hacer una resoluci´on anal´ıtica de la din´amica. Abordaremos adem´as la resoluci´on num´erica de las ecuaciones diferenciales estoc´asticas que describen dicha din´amica. Mostraremos el buen acuerdo alcanzado entre los resultados num´ericos y anal´ıticos. El an´alisis de sistemas en interacci´on con distintos ba˜nos t´ermicos se realizar´a principalmente en base a la resoluci´on num´erica de la din´amica. Comenzamos nuestro estudio introduciendo todo el formalismo necesario para la descripci´on del movimiento browniano dentro del marco te´orico empleado. Dicho marco lo proporciona la descripci´on de Langevin, en este modelo la acci´on del ba˜no t´ermico se traduce en dos t´erminos de caracter´ısticas bien diferenciadas. Por un lado tenemos el t´ermino de fricci´on describiendo que la asimetr´ıa del acoplamiento entre unos pocos grados de libertad lentos y muchos r´apidos conduce a un flujo de energ´ıa del primero al segundo, que es el fen´omeno de la disipaci´on de energ´ıa [1]. En contraposici´on, est´a el t´ermino conocido como fuerza estoc´astica o fuerza de langevin que da cuenta de las incesantes colisiones que sufre la part´ıcula browniana con aquellas del medio que la rodea. Una vez establecidos los fundamentos te´oricos pasamos a la resoluci´on de algunos casos particulares de sistemas que alcanzan el equilibrio donde vemos como se caracterizan estos estados, se presentan m´etodos alternativos para la soluci´on de la din´amica del sistema y se comprueba la concordancia de los resultados anal´ıticos que se van obteniendo con las simulaciones num´ericas llevadas a cabo. Por ´ultimo, pasamos al estudio de sistemas fuera del equilibrio donde introducimos el concepto de equilibrio t´ermico local, un resultado que nos permite extrapolar consideraciones propias de sistemas en equilibrio a sistemas fuera de ´el. Bas´andonos en esto, caracterizamos la temperatura y los flujos de energ´ıa que aparecen en el sistema.

This work is presented as an introduction to the study of the dynamics of systems in contact with thermal baths in the theoretical framework of the Langevin model. In this framework, both systems in and out of equilibrium will be studied. Characterizing them based on the values of the kurtosis of their velocity distribution. Although we only study very simple models, understanding the results that will be shown below would provide the necessary tools to carry out more complex studies. Either increasing the number of particles in the system or considering other types of interaction potentials. In systems of these characteristics anomalous transport phenomena emerge. [2] [3] In chapter one we start by introducing the basic concepts necessary to characterize stochastic processes, which are then applied to the specific case of Brownian motion. We also explain the Langevin model, which will be used to define the thermal baths in this study. In chapter two we focus on systems that are in contact with a single thermal bath. These systems reach equilibrium when sufficient time has elapsed. Here we will study the behaviour of the mean values of the different dynamic quantities of the particle in the transition regime to equilibrium and once equilibrium has been reached. We analyze two systems: a free particle and a particle confined in an harmonic potential. In this case it is possible to find the analytical solution of the dynamics. Chapter three is devoted to the study of systems that are in contact different thermal bath. In this case the combined action of different thermal baths determines the steady state to be non-equilibrium. We characterise such states in terms of the kurtosis and introduce the concept of local thermal equilibrium (LTE). Although for such systems it becomes almost impossible to obtain analytical solutions, we show a semi-analytical method that allows us to analyse the state of the system once it is in the non-equilibrium steady state. The Einstein approach to Brownian motion, the proof of the Central Limit Theorem and the description of the Platen‘s algorithm for the numerical resolution of the dynamical equations are presented on the appendix.