Modelos epidemiológicos y dinámica de poblaciones a través de ecuaciones diferenciales

Abstract

La modelizaci´on matem´atica de las epidemias despert´o gran inter´es a principios del siglo XX en la comunidad cient´ıfica, pues epidemias como la viruela o el sarampi´on arrasaron con la vida de miles de personas en los siglos XVIII, XIX y XX. A d´ıa de hoy, el estudio de las enfermedades infecciosas sigue estando de actualidad, sobre todo en estos tiempos en que estamos sufriendo una pandemia v´ırica por COVID-19. En la epidemiolog´ıa, las matem´aticas juegan un papel importante pues permiten el desarrollo de modelos que simulan la evoluci´on y propagaci´on de las enfermedades infecciosas. A lo largo del presente trabajo se estudiar´an diversos modelos epidemiol´ogicos a trav´es de ecuaciones diferenciales ordinarias. En particular, nos centraremos en el modelo SIR y algunas de sus variantes para predecir la propagaci´on de enfermedades epid´emicas y end´emicas, todo ello gracias al estudio de los estados estacionarios y la estabilidad de cada uno de los modelos. Adem´as, comprobaremos que las medidas de erradicaci´on y control, en concreto la vacunaci´on, son claves para frenar la transmisi´on de enfermedades infecciosas. En este estudio tambi´en simularemos la evoluci´on de la COVID-19, prediciendo de manera aproximada las posibles olas de la enfermedad. Cabe destacar que tambi´en se realiza una introducci´on a la din´amica de poblaciones pues, como veremos, puede ser ´util a la hora de analizar modelos epidemiol´ogicos.

The mathematical modelling of epidemics aroused great interest in the scientific community at the beginning of the 20th century, as epidemics such as smallpox or measles devastated the lives of thousands of people in the 18th, 19th and 20th centuries. Today, the study of infectious diseases continues to be topical, especially in these times when we are suffering a viral pandemic due to COVID-19. In epidemiology, mathematics plays an important role as it allows the development of models that simulate the evolution and spread of infectious diseases. Throughout this work, various epidemiological models will be studied through ordinary differential equations. In particular, we will focus on the SIR model and some of its variants to predict the spread of epidemic and endemic diseases, all this thanks to the study of the stationary states and the stability of each of the models. In addition, we will see that eradication and control measures, in particular vaccination, are key to curbing the transmission of infectious diseases. In this study we will also simulate the evolution of COVID-19, predicting roughly the possible waves of the disease. It should be noted that there is also an introduction to the dynamics of populations because, as we will see, it can be useful when analyzing epidemiological models.