Códigos producto de matrices

Abstract

La Teoría de códigos es una rama de las matemáticas que lidia con el problema de la transmisión eficiente de un mensaje. En este trabajo, hablaremos de teoría de Códigos Correctores. Estos códigos son capaces de detectar y corregir errores que se hayan producido en la transmisión de un mensaje a través de un canal con ruido. En particular, nos centraremos en Códigos Lineales, una familia de códigos que tienen una codificación eficiente, definida por una aplicación lineal. Estudiaremos sus propiedades, para después definir una serie de construcciones de códigos interesantes. Posteriormente, generalizaremos estas construcciones previas definiendo el Código Producto de Matrices. Esta construcción nos permite crear un nuevo código de mayor longitud, a partir de códigos lineales más pequeños. Los parámetros de estos códigos vendrán definidos por los parámetros de los códigos pequeños, y la matriz que consideremos. Finalmente, describiremos un algoritmo de decodificación eficiente para este tipo de códigos, que corrige el número máximo posible de errores.

Coding theory is a branch of mathematics that deals with the problem of a message’s efficient transmission. In this work, we will talk about Error-correcting codes. These codes are capable of detecting and correcting errors that may have occurred during the transmission of the message through a noisy channel. Particularly, we will focus on Linear Codes, a family of codes which have an efficient encoding, defined by a linear map. We will study their properties, and later on, we will define some interesting code constructions. Hereafter, we will generalize the previous ones, defining the Matrix Product Codes. This construction allows us to create a new, longer code from tinier linear codes. These codes parameters will be defined by the parameters of the smaller codes and the matrix. Finally, we will describe an efficient decoding algorithm for this type of codes that corrects the maximum possible number of errors.