Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones. Problemas de segundo orden

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de los m´etodos Runge-KuttaNystr¨om (RKN) para la resoluci´on de problemas de valor inicial (PVI) en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de segundo orden. En primer lugar, profundizaremos en el estudio de los m´etodos Runge-Kutta (RK) para PVIs de primer orden, ya que los RKN son una extensi´on natural de ellos. Esto es importante ya que abordar directamente la convergencia de los m´etodos RKN es bastante complejo sin conocer antes c´omo se deducen las condiciones de orden de los m´etodos RK y, en particular, la teor´ıa de las series de Butcher. A partir de esta teor´ıa, demostraremos dos teoremas relevantes. El primero da una acotaci´on rigurosa del error local del los RK y se usa para demostrar el segundo, que nos asegura la convergencia de dichos m´etodos. Establecida ya esta base s´olida, pasaremos a extender estos m´etodos a los PVIs de segundo orden, definiendo los m´etodos RKN y estudiando su orden y convergencia. Finalizaremos esta memoria aplicando estos m´etodos para la integraci´on temporal de la ecuaci´on de ondas y testando su comportamiento con varios experimentos num´ericos.

The aim of this work is to study Runge-Kutta-Nystr¨om (RKN) methods for solving initial value problems (IVPs) in second-order ordinary differential equations (ODEs). First, we will delve into the study of Runge-Kutta (RK) methods for first-order IVPs, since RKNs are a natural extension of them. This is important since tackling directly the convergence of RKNs is quite difficult without first knowing how the order conditions of RK methods are deduced and, in particular, the theory of Butcher series. Then, we will prove two relevant theorems. The first one gives a rigorous bound of the local error of RK methods and is used to prove the second one, which ensures the convergence of RK methods. Having established this solid foundation, we will extend these methods to second-order IVPs, defining RKN methods and studying their order and convergence. We will conclude this report by applying these methods to the time integration of the wave equation and testing their behaviour with several numerical experiments.