Análisis en grafos

Abstract

En este trabajo presentamos un estudio sobre el operador de Laplace en grafos conexos, pesados y localmente finitos. Se introduce los conceptos de funciones sobre grafos, el operador de Markov, el operador de Laplace y su relación. Consideraremos el espacio de funciones armónicas, el problema de Dirichlet y las leyes de Kirchhoff. En un segundo Capítulo se presenta la identidad de Green. Se estudiará las propiedades principales del espectro del operador de Laplace y se establecerá acotaciones para el menor autovalor no trivial. Se introducen los grafos de Cayley y finalmente consideraremos el operador de Dirichlet-Laplace sobre grafos infinitos, el problema de Dirichlet y daremos un método iterativo (que recuerda a aquel usado en la prueba del Teorema del punto fijo de Banach) para su resolución debido a Jacobi.

In this work we present a study of the Laplace operator in connected, weighted and locally finite graphs. The concepts of functions on graphs, the Markov operator and Laplace operator and its relations are introduced. The space of harmonic functions and their relationship with Dirichlet’s problem and Kirchhoff’s laws will be presented. In the second Chapter, Green’s identity is presented. The main properties of the spectrum of the Laplace operator are studied and bounds for the smallest non trivial eigenvalue will be given. Cayley graphs are introduced and finally, we will consider the Dirichlet-Laplace operator on infinite graphs, and we will give an iterative resolution method (that reminds the proof of the Banach fixed point Theorem) due to Jacobi.