Grupos en curvas elípticas.

Abstract

Las ra´ıces de un polinomio en dos variables se pueden representar geom´etricamente en el plano real dando lugar a las curvas algebraicas afines. De esta manera, podemos estudiar las diferentes propiedades geom´etricas que pueden albergar. En particular, nos resultar´a de especial inter´es el estudio de los puntos de las curvas el´ıpticas, sobre todo, de sus puntos racionales. En primer lugar, haremos una introducci´on general a las curvas algebraicas planas afines y al plano proyectivo para poder hablar sobre las curvas algebraicas planas proyectivas y el Teorema de B´ezout. Concluiremos el Cap´ıtulo 1 mencionando los sistemas lineales de curvas y demostraremos el Teorema de los nueve puntos. En el siguiente cap´ıtulo relacionaremos las curvas algebraicas con la Teor´ıa de Grupos centr´andonos en las curvas el´ıpticas proyectivas sobre el plano proyectivo complejo y en c´omo podremos dotar sus puntos con estructura de grupo abeliano haciendo uso de una operaci´on puramente geom´etrica. Finalmente, interpretaremos las curvas el´ıpticas proyectivas como curvas afines con un punto en el infinito y pondremos atenci´on en sus puntos racionales, los cuales conformar´an un subgrupo del grupo ya estudiado. En el tercer cap´ıtulo, nuestra meta se fijar´a en probar el conocido Teorema de Mordell sobre Q, el cual establece que el subgrupo formado por los puntos racionales de una curva el´ıptica est´a finitamente generado, haciendo uso de la Teor´ıa de N´umeros.

The roots of a polynomial in two variables can be represented geometrically in the real plane leading the algebraic curves. In this way, we are able to study the different geometric properties they verify. In particular, we are specially interested in studying the points on elliptic curves, above all, the rational ones. First of all, we will make a general introduction about algebraic curves in the projective plane in order to be capable of talking about the projectives curves and the B´ezout Theorem. We will finish the Chapter 1 by naming the linear systems and we will prove the result known as Nine Points Theorem. Next, we will relate the Group Theory with the algebraic curves by focusing on the projective elliptic curves over the complex projective plane and how we can provide them with a structure of an abelian group by using an operation purely geometric. Finally, we will interpret the projective elliptic curves as affine curves with one point at the infinity and we will concentrate on their rational points which will shape a subgrop of the one we will have already studied. In the last chapter, our goal will be to prove the Mordell Theorem over Q which stablishes that the subgroup formed by the rational points on an elliptic curve is finitely generated by applying the Number Theory.