El anillo de Hamilton

Abstract

Esta memoria consta de tres objetivos. El primero es la resoluci´on de ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales de dos inc´ognitas. El segundo es la demostraci´on del Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange, el cual establece que cualquier entero no negativo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados; y en el tercero abordaremos la teor´ıa de la factorizaci´on en irreducibles en los cuaterniones de Hurwitz. En primera instancia, presentamos el anillo de Hamilton y ciertas propiedades con las que construiremos las pruebas de nuestros resultados principales. Posteriormente estudiamos el subanillo de los enteros de Hurwitz donde mostramos la existencia del algoritmo de divisi´on unilateral. Tambi´en caracterizamos los elementos irreducibles en el anillo de Hurwitz lo que nos permitir´a obtener una factorizaci´on ´unica salvo unidades migratorias, metaconmutaciones y recombinaciones.

This essay consists of three objetives. The first one is to solve quaternionic equations and linear quaternionic systems with two addends. The second one is to proof of Lagrange’s Theorem of Four Squares, which establishes that any non-negative integer can be written as a sum of four squares. The third objetive covers the theory of the factorization into irreducible of the Hurwitz quaternions. To do so, we introduce certain properties of the Hamilton ring, with which we will construct the proofs of our main results. Next, we study the subring of the Hurwitz integers in which we show the existence of one-sided division algorithm. We also characterize the irreducible elements in the Hurwitz ring which will allow us to obtain a unique factorization except for unit-migrations, metacommutations and recombinations.