Quantum Decoherence

Abstract

A study of continuous measurement and quantum decoherence is presented in this work. Starting from the Schrödinger- von Neumann equation and developing it, a set of stochastic equations will be obtained such that they describe the behaviour of a system of few degrees of freedom affected by a bath of many degrees of freedom that is interacting with it. The bath, interpreted here as a measuring device, will make the system experiment quantum decoherence. The objective of this work is to analyze the processes of evolution and decoherence of several studied systems, where the Hamiltonian of the system and the measuring device play opposite roles in the evolution: while the first tries to make the system evolve, the second one tries to make it collapse. A further study will be made about the Master Equation of the system and the average final state of it, which is called asymptotic average state. By doing this analysis the reader shall get a deeper understanding of the concepts of quantum decoherence and continuous measurement.

Este trabajo se centra en obtener las ecuaciones que describen sistemas cuánticos de pocos grados de libertad en interacción con un baño de muchos grados de libertad. Las ecuaciones expresan esta interacción con dos términos deterministas que presentan dependencia temporal y de una variable de ruido aleatoria, los cuales se añaden al término del Hamiltoniano del sistema. Se han elegido dos sistemas cuánticos, un oscilador armónico en el que se mide un observable proporcional a la energía del sistema y un sistema de dos niveles en el que se miden las componentes del spin, para ilustrar y estudiar el fenómeno de la decoherencia cuántica. La decoherencia cuántica es el proceso por el cual un sistema cuántico pierde su coherencia y pasa a poder ser descrito únicamente en términos clásicos. Este proceso va asociado al concepto de medida continua, que es conveniente introducir antes de tratar la decoherencia en profundidad. Típicamente, el tipo de medida que se trata en física cuántica es aquella en la que el sistema se proyecta sobre uno de los autoestados de un observable dado. Esta clase de medida, denominada comúnmente medida de von Neumann, es en realidad solo un caso especial de los múltiples tipos de medidas posibles en física cuántica. Mientras que una medida de von Neumann proporciona información completa sobre el sistema, es posible realizar otro tipo de medida que reduzca la incertidumbre inicial acerca del observable que está siendo medido sin llegar a eliminarla por completo. Suele referirse a esta clase de medidas como POVMs, acrónimo de positive operator-valued measure, y su interés yace en que pueden tomarse ciertos valores de parámetros del sistema de forma que éste siga evolucionando después de la medición. Una medida “fuerte” será aquella en la que la incertidumbre sea baja, mientras que una medida “débil” será aquella en la que la incertidumbre sea alta. Sabiendo esto es ppsible introducir las medidas continuas, que consisten en medidas en las cuales se está extrayendo continuamente información sobre el sistema. Un sistema cuántico puede representarse a través de la matriz densidad, cuyos términos diagonales se denominan poblaciones y corresponden, en cierto modo, a la parte clásica del sistema, ya que equivalen a las probabilidades de hallar al sistema en el estado correspondiente. Los términos no diagonales se denominan coherencias, y dan cuenta de la parte cuántica del sistema. El término decoherencia proviene del hecho de que, al proyectarse un sistema sobre un autoestado, las coherencias se hacen cero, de modo que el sistema pasa a poder ser descrito únicamente en términos clásicos a través de las poblaciones. Es decir, cuando se realiza una medida fuerte de un sistema, éste sufre un proceso de decoherencia por el cual sus coherencias, que dan cuenta de las propiedades cuánticas del sistema, se anulan. Mediante la realización de una medida débil es posible evitar la decoherencia y hacer que el sistema siga evolucionando después de la medida. Los sistemas estudiados proporcionarán ejemplos de este tipo de mediciones, siendo posible alterar sus parámetros para realizar medidas más o menos fuertes y para dar mayor o menor fuerza al Hamiltoniano. De esta manera, es posible alcanzar puntos de equilibrio y estudiar las combinaciones que se deseen entre medida fuerte y débil para que el sistema siga evolucionando después de la medición o bien colapse completamente y se mantenga en el autoestado deseado. Previamente a este estudio se realizará el desarrollo de las ecuaciones que describen estos sistemas, teniendo en cuenta las razones de ruido y las dimensiones de cada término, haciendo modificaciones si procede para optimizar la obtención de una solución. Además, se buscará la obtención del estado asintótico promedio, que proporciona las poblaciones del sistema una vez las coherencias se han hecho cero. El hecho de hallar el estado asintótico promedio equivale a realizar un cálculo estadístico de las veces que el sistema colapsa a un autoestado u otro en relación al total. Este porcentaje es equivalente a las poblaciones de la matriz densidad, que son las componentes no nulas el estado asintótico promedio. El interés del estado asintótico promedio yace en que es posible alcanzar el resultado expuesto previamente de forma analítica, evitando así un cáulculo estadístico farragoso. Además, el estado asintótico promedio hace evidente aquellos casos en los que los parámetros del sistema se han elegido de tal manera que pueden obtenerse resultados concluyentes, y aquellos en los que no. Este hecho se debe a que si se da el caso de que el Hamiltoniano no conmute con el observable que se está midiendo hará al sistema salir de cualquier estado en el que haya colapsado, de modo que la información que haya podido obtenerse en una medición no es válida, ya que el sistema ha evolucionado desde entonces. Ésto se refleja en el estado asintótico promedio como una distribución equitativa de probabilidades entre todos los posibles estados del sistema, lo cual no proporciona ninguna información de valor. En el caso contrario, cuando el Hamiltoniano conmuta con el observable que se está midiendo, los autoestados de dicho observable son también autoestados del Hamiltoniano, por lo que éste no es capaz de sacar al sistema de un autoestado al que haya colapsado; el sistema permanecerá en el estado en el que colapse siempre que sea autoestado del Hamiltoniano. En este caso la información que proporciona la medida sí que es de utilidad, ya que el sistema no evoluciona fuera del autoestado. El estado asintótico promedio describe este hecho mediante una distribución de probabilidades que no son necesariamente iguales para todos los estados posibles, sino que dependen de la configuración inicial del sistema.