A primer on the study of one dimensional systems, Bethe ansatz and integrability.

Abstract

El objetivo de este trabajo es introducir y familiarizar al lector con las t´ecnicas y fundamentos del estudio de sistemas cu´anticos unidimensionales de muchos cuerpos. El an´alisis de este tipo de sistemas comenz´o poco despu´es de la formulaci´on ondulatoria de la mec´anica cu´antica de Schr¨odinger (1926), y uno de los pioneros en este ´area fue Hans Bethe (1931). En su estudio del magnetismo cu´antico introdujo su famoso ansatz, el cual constituy´o la primera soluci´on completa a un problema de muchos cuerpos en interacci´on. Su contribuci´on pasar´ıa desapercibida hasta que, en 1963, Lieb y Liniger utilizaran las ideas desarrolladas por Bethe para resolver el problema de N bosones en una dimensi´on interactuando a trav´es de un potencial tipo delta de Dirac. Esto abri´o un nuevo campo de estudio tanto en la f´ısica de sistemas cu´anticos fuertemente interactuantes como en el estudio de gases cu´anticos. La reciente realizaci´on experimental de sistemas de este tipo ha provocado el aumento de los esfuerzos t´ecnicos para la obtenci´on de sistemas m´as variados, as´ı como intensos avances te´oricos para proporcionar una descripci´on m´as detallada de su din´amica. La importancia de trabajar con sistemas unidimensionales no est´a solo en la mayor probabilidad de admitir una soluci´on anal´ıtica, sino en los nuevos fen´omenos que es posible observar en una dimensi´on, por ejemplo, el proceso de fermionizaci´on. La primera parte del trabajo est´a dedicada a introducir al lector a la teor´ıa de colisiones, describiendo los elementos b´asicos necesarios, y haciendo un especial enf´asis en el an´alisis de problemas unidimensionales. En la siguiente parte del trabajo introduciremos el concepto de integrabilidad. Surge en el estudio de sistemas hamiltonianos cl´asicos y ha sido un ´area en el que los avances se han dado, en su mayor´ıa, desde una perspectiva matem´atica. El m´etodo de Bethe y sus generalizaciones nos proveen con t´ecnicas para determinar si un sistema cu´antico es integrable o no. El estudio de la integrabilidad en sistemas cu´anticos se ha convertido en un ´area de intensa investigaci´on por las profundas implicaciones que tiene en la f´ısica estad´ıstica cu´antica. Se estudia, cualitativamente, la relaci´on entre el ansatz de Bethe, la integrabilidad del sistema y el proceso de termalizaci´on, analizando los mecanismos que permiten, o no, que se den estos procesos. El segundo paso, una vez introducido el ansatz de Bethe y sus propiedades ser´a usarlo para resolver el modelo de Lieb-Liniger original, tanto para un sistema de N bosones como para el estado fundamental del l´ımite termodin´amico. Se utilizar´an m´etodos num´ericos para resolver las ecuaciones obtenidas en ambos casos y se discuten los resultados obtenidos. Aqu´ı se obtiene por primera vez un indicio de la relaci´on entre el espectro de sistemas integrables y la distribuci´on de autovalores de matrices aleatorias. El siguiente objetivo del trabajo ser´a realizar un an´alisis similar al anterior pero para un sistema en el que tres bosones interact´uan a trav´es de un potencial Gaussiano y no a trav´es de una delta de Dirac. Estudios te´oricos han obtenido que el sistema sigue siendo integrable para ciertos valores de los par´ametros del sistema. En este trabajo obtenemos resultados num´ericos que respaldan esto, as´ı como indicios de la ruptura de la integrabilidad para valores medio-altos de la densidad. Estas conclusiones se obtienen a partir del estudio del espectro de este modelo modificado.

In this work we will be introducing important concepts, techniques and procedures related to the study of one dimensional quantum many body systems. The study of this kind of systems started shortly after Schr¨odinger’s seminal paper (1926) with the work of Hans Bethe (1931). He introduced a novel technique, the Bethe ansatz, that would stay unrecognized until the paradigmatic work of Lieb and Liniger (1963). They were able to solve, without any approximation, a many body quantum system analytically, both for a finite system of bosons as well as in the thermodynamic limit. This opened a new research field that has helped to understand the physics of strongly correlated quantum systems as well as the dynamics of dilute gases. Moreover, the recent experimental realization of systems of this kind has fueled not just intense experimental efforts to reproduce more diverse one dimensional systems but also theoretical ones. The importance of dealing with one dimensional systems is that they exhibit exotic phenomena that are not present in 2D and 3D systems, as we shall see, in the process of fermionization. Moreover, one dimensional systems are more prone to admit an analytical solution, making it easier to understand the dynamics of the system. Another topic that we will be covering is integrability. Coming from the theory of classical Hamiltonian systems it has been an elusive topic for physicists, and some advances have been done with more mathematically-oriented purposes. Bethe’s method and its generalizations (Nested, Thermodynamic, Algebraic, Coordinate Bethe Ansatz) allow us to determine whether a system is integrable or not, because solvability by the ansatz is a clear signature of the system being integrable. The study of integrability in quantum systems has become a topic of great interest because of the deep implications it has in quantum statistical mechanics. The relation between integrability and thermalization is yet under study and the mechanisms that enable one or the other are to be discovered, although some hypothesis, as the Eigenstate thermalization hypothesis, have been proposed. The main motivation of this work is to serve as an introduction to this vast topic. We begin with a brief review of scattering theory, introducing some useful results and how these can be used to solve one dimensional problems. The next step is an overview of the problem of thermalization: when should one expect a system to thermalize? Which mechanisms are responsible? The link between integrability, thermalization and quantum collisions is established here, qualitatively. Our following task is to study Bethe’s method, initially giving a general description and why it being a solution implies that the system is integrable. Then, we solve the problem of a system of N bosons in a ring with delta interaction [1], both for finite N and in the thermodynamic limit. We study the spectrum of this model and find some relations between the distribution of Bethe’s rapidities and the spectrum of random matrices, which serve us to introduce the concept of level repulsion and distribution of level spacing. After some calculations we proceed to study a slightly modified model for a system of three bosons, where we substitute the delta potential by a Gaussian. We repeat the same analysis as for the Lieb-Liniger model and analyze the similarities and differences between them. Theoretical research on this topic has found that the system is integrable for certain regimes. We study the statistics of the energy spectrum for different values of the parameters of the system, comparing the results with the integrable or non integrable expected results.