Complejidad Topológica

Abstract

El problema del planificador de movimientos de un sistema mec´anico consiste en encontrar un algoritmo que tenga como input un par ordenado de estados del sistema, denominados estado inicial y estado final, y como output un movimiento continuo que comience en el estado inicial y que acabe en el estado final. Para modelizar topol´ogicamente este problema se hace uso del espacio de configuraciones asociado al sistema mec´anico. Michael Farber demuestra en 2003 que dar tal algoritmo de forma global y que sea razonablemente robusto solo es posible en espacios de configuraciones muy simples. De este modo, propone considerar un n´umero finito de algoritmos continuos de forma local, originando la denominada complejidad topol´ogica. Partiendo de la motivaci´on inicial del problema del planificador de movimientos, en este trabajo introduciremos la noci´on de complejidad topol´ogica de un espacio topol´ogico general. Estudiaremos sus principales caracter´ısticas y propiedades, as´ı como su relaci´on con la categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann. Adem´as, haremos uso de t´ecnicas de topolog´ıa algebraica que nos permitir´an aproximar o, en algunos casos, determinar la complejidad topol´ogica de muchos espacios. Finalmente, emplearemos los resultados desarrollados a lo largo de la memoria para estudiar la complejidad topol´ogica de una amplia variedad de ejemplos. Palabras clave: Complejidad topol´ogica, planificaci´on de movimientos, espacio de configuraciones, fibraci´on, producto cup, algoritmo local, categor´ıa de Lusternik-Schnirelmann, nilpotencia.

The motion planning problem on a mechanic system consists in finding an algorithm which takes, as input, an ordered pair of states of the system called initial state and final state; and, as output, a continuous movement which starts at the initial state and ends at the final state. Spaces of configurations are used in order to modelize topologically this problem on a mechanic system. Michael Farber proofs in 2003 that establishing such algorithm globally and robustly is possible only in a rather simple type of spaces. At a time, Farber proposes to assign paths locally by descomposing the topological space in a finite number of open sets. This number is called topological complexity. Starting from the initial cause of motion planning problem, in this dissertation we will introduce the notion of topological complexity of a general topological space. We will study its main features and properties as well as its relationship with the Lusternik-Schnirelmann category. Moreover, we will use algebraic topology techniques that will allow us to estimate or, in certain cases, to determine the topological complexity of a several number of spaces. To conclude, the results developed in this dissertation will come into play to discuss a wide class of examples. Keywords: Topological complexity, motion planning, configuration spaces, fibration, cup product, local algorithm, Lusternik-Schnirelmann category, nilpotency