Teoría de homotopía digital

Abstract

The aim of this master’s thesis is to develop an introduction to homotopy theory in digital topology, which is a field that studies and analyzes digital images. The procedure of the project consists of transferring the usual concepts in algebraic topology to this new context. This topic is not new in the scientific literature, but the distinct attemps to establish a full theory have been unsuccessful, because the achieved results are too rigid, without applicability and do not connect very well with non-digital context. Therefore, new and significant advances in this field have been reported. In this sense, the importance of the subdivision of a digital image has been highlighted, which has made it possible to deal with new notions such as digital cofibration, for example. Also, new digital analogs will be established for concepts such as function spaces, path spaces and the fundamental group. In order to achieve this, we introduce some usual properties into this setting such as the homotopy extension property for cofibrations or the homotopy lifting property. Along the thesis, we also present several interesting examples which illustrate all the theoretical results

Este trabajo está dedicado a una introducción al estudio de la teoría de homotopía en la topología digital, área cuyo desarrollo está motivado a entender y analizar las imágenes digitales. El proceder de la memoria consiste en trasladar los conceptos habituales en topología algebraica a este nuevo contexto. Como se comprobará, esta temática no es novedosa en la literatura, pero los resultados conseguidos hasta la fecha son muy rígidos, de poca aplicabilidad y sin coherencia con el ámbito no digital. Por ello, se recogen avances nuevos y significativos en este campo. En este sentido, se ha puesto en relieve la importancia de la subdivisión de una imagen digital, la cual ha permitido lidiar con nociones nuevas como la de cofibración digital, por ejemplo. Asimismo, se establecerán nuevos análogos digitales para conceptos como los espacios de funciones, espacios de caminos y el grupo fundamental. Para ello, se presentarán versiones digitales de distintas propiedades como la propiedad de elevación de homotopías o la propiedad de extensión de las cofibraciones. Durante el estudio se muestran ejemplos que ilustran los resultados teóricos y ciertas problemáticas comentadas.