Aplicación del teorema de residuos de Cauchy a la suma de series

Abstract

Una de las aplicaciones más sorprendentes del cálculo de residuos es su utilidad para obtener sumas de series de números reales (aunque no exclusivamente reales). Esta aplicación se apoya principalmente en el comportamiento de dos funciones complejas de variable compleja: la cotangente y la cosecante, cuyos únicos polos, simples, se encuentran en los enteros. En el presente trabajo se recopilan varias técnicas de suma de series basadas en el teorema de los residuos de Cauchy, y se deducen diversas fórmulas para sumas infinitas y series infinitas particulares que son de difícil o imposible consecución por métodos de análisis real. En la misma línea, se incluye una demostración del teorema de Mittag-Leffler, el cual generaliza la descomposición de funciones racionales en fracciones simples al caso de funciones meromorfas con una infinidad de polos.