Espacios de Hilbert con núcleo reproductor

Abstract

Un espacio de Hilbert con n´ucleo reproductor (EHNR) es un espacio de Hilbert de funciones sobre el que los funcionales evaluaci´on son continuos. V´ıa el teorema de representaci´on de Fr´echet-Riesz, todo EHNR tiene asociado un n´ucleo que permite reproducir cualquier funci´on del espacio, en el sentido de que el valor de la funci´on en un punto de su dominio se obtiene multiplic´andola escalarmente por otra funci´on del espacio, determinada por el n´ucleo. El teorema de Moore-Aronszajn establece una correspondencia biyectiva entre los n´ucleos reproductores de espacios de Hilbert y las denominadas funciones n´ucleo, o n´ucleos (semi)definidos positivos, y se puede decir que la teor´ıa de EHNRs consiste en el estudio de las consecuencias que se derivan de esta biyecci´on. Los EHNRs encuentran aplicaci´on en una ampl´ısima variedad de ´areas. En este trabajo se ilustra su relevancia en la teor´ıa de la aproximaci´on, probando que toda funci´on n´ucleo tiene asociado un EHNR de modo que la interpolaci´on equivale a la interpolaci´on de norma m´ınima en ese espacio. Adem´as, se aborda una variante de este esquema interpolatorio que, a diferencia del original, permite reproducir polinomios de un grado determinado. En este nuevo escenario, el papel de las funciones n´ucleo y de los EHNRs es desempe ˜nado, respectivamente, por los n´ucleos condicionalmente definidos positivos y por los llamados espacios de Pontryagin con n´ucleo reproductor.