Operadores lineales acotados en espacios de Hilbert desde una perspectiva matricial

Abstract

Este trabajo aborda el estudio de los operadores lineales continuos en espacios de Hilbert desde una perspectiva matricial, con el objetivo de tender puentes entre el ´algebra lineal cl´asica y el an´alisis funcio- nal moderno. Se parte de conceptos fundamentales como el producto interior y los espacios de Hilbert, para progresivamente adentrarse en herramientas avanzadas como el proceso de ortonormalizaci´on de Gram-Schmidt, el operador adjunto, las proyecciones ortogona- les y la teor´ıa espectral. Se presta especial atenci´on a la analog´ıa estructural entre matrices hermitianas y operadores autoadjuntos, explorando c´omo las t´ecnicas matriciales se pueden extender a con- textos infinito-dimensionales. Entre los resultados m´as destacados se encuentra la representaci´on espectral de operadores autoadjun- tos, como generalizaci´on natural de la diagonalizaci´on de matrices. Esta perspectiva resulta particularmente ´util para disciplinas como la mec´anica cu´antica y la teor´ıa de se˜nales, donde los espacios de Hilbert y los operadores lineales constituyen herramientas clave.