Aproximación Padé. Fórmulas de cuadratura.

Abstract

Esta memoria estudia la aproximaci´on de funciones mediante desarrollos racionales, con el objetivo de superar las limitaciones que presentan los m´etodos polinomiales cl´asicos al tratar funciones con estructuras singulares. En particular, se analiza la utilidad de los aproximantes de Pad´e como herramienta para emular el comportamiento de funciones meromorfas, especialmente en presencia de polos cercanos al dominio de inter´es. El enfoque adoptado se basa en restringir el estudio a un tipo espec´ıfico de funciones conocidas como funciones de Markov, lo que permite caracterizar el comportamiento del denominador de los aproximantes en t´erminos de polinomios ortogonales. Esta estructura algebraicoanal´ıtica facilita el an´alisis de propiedades clave como la localizaci´on de ceros y la convergencia de los desarrollos racionales. A partir de esta caracterizaci´on, se establece una conexi´on natural con las f´ormulas de cuadratura, que se interpretan aqu´ı como integraciones racionales asociadas a la descomposici´on del aproximante. Esta perspectiva permite recuperar f´ormulas cl´asicas como la cuadratura de Gauss, as´ı como otras que incorporan condiciones menos estrictas de ortogonalidad, como las f´ormulas de Radau, Lobatto y las interpolatorias.

This memoir explores the approximation of functions through rational expansions, with the aim of overcoming the limitations of classical polynomial methods when dealing with functions that exhibit singular structures. In particular, it analyzes the usefulness of Pad´e approximants as a tool to emulate the behavior of meromorphic functions, especially in the presence of poles close to the domain of interest. The adopted approach focuses on a specific class of functions known as Markov functions, which allows the characterization of the denominator of the approximants in terms of orthogonal polynomials. This algebraic-analytic structure facilitates the analysis of key properties such as zero localization and rational convergence. Based on this characterization, a natural connection is established with quadrature formulas, which are interpreted here as rational integrations derived from the decomposition of the approximant. This perspective recovers classical formulas such as Gauss quadrature, as well as others that relax the orthogonality conditions, including Radau, Lobatto and interpolatory rules.