Ideales tóricos intersección completa y algoritmos que provienen de estructuras geométricas y combinatorias

Abstract

Los ideales tóricos son un tipo particular de ideales del anillo de polinomios que están generados por diferencias de monomios (binomios), son primos y graduados. Su estudio es una parte importante del álgebra conmutativa y de la geometría algebraica. Desde el nacimiento de la geometría tórica en los años 70 el interés en el estudio de este tipo de ideales se ha ido incrementando notablemente y actualmente es un área fértil de investigación. El estudio de estos ideales está profundamente conectado con la combinatoria, la geometría de poliedros, el estudio de semigrupos... entre otras muchas ramas de las matemáticas. El objetivo de esta tesis es el estudio y caracterización de los ideales tóricos que son intersección completa; concretamente, la obtención de métodos efectivos para determinar si un ideal tórico es intersección completa que no precisen del cálculo explícito de un sistema minimal de generadores del ideal. El estudio de la propiedad de ser intersección completa en ideales tóricos fue iniciado por Herzog en 1970, quien resolvió satisfactoriamente el primer caso no trivial, esto es, proporcionó un criterio aritmético que caracteriza cuándo el ideal tórico asociado a una curva monomial afín en el espacio tridimensional es intersección completa. Además, en ese mismo trabajo, Herzog conjeturó cómo se podría generalizar este criterio para curvas monomiales en el espacio afín $n$-dimensional para todo $n \geq 3$. Si bien la conjetura no era cierta, como mostró Delorme en 1976, este artículo suscitó el interés de muchos autores y surgieron varios artículos dando respuestas al mismo problema en contextos más generales, hasta que Fischer, Morris y Shapiro en 1997 consiguen caracterizar los ideales tóricos que son intersección completa por medio del denominado {\it gluing} de semigrupos. Una característica común a todos estos trabajos es que tienen un marcado carácter teórico y no se centran en la obtención de algoritmos eficientes. La principal aportación de esta tesis doctoral es la obtención de resultados que conducen al diseño, la demostración de la corrección e implementación de métodos efectivos que reciben como entrada un conjunto A = {a_1,..,a_n} de vectores no nulos de Nm y determinan si el ideal tórico I(A) es intersección completa o no, perteneciendo I(A) a diversas familias de ideales tóricos. Los métodos propuestos son todos de naturaleza eminentemente aritmética-combinatoria y evitan tanto el cálculo de bases de Gröbner como la obtención explícita de sistemas minimales de generadores del ideal. No obstante, en los casos en los que el ideal tórico I(A) es intersección completa, todos los algoritmos propuestos proporcionan, sin tener que efectuar ningún tipo de cálculo adicional, un sistema minimal de generadores del ideal. Muchos de los algoritmos obtenidos se han implementado en ANSI C y en Singular. Asimismo y como consecuencia no trivial de la aplicación teórica de los algoritmos propuestos, se aportan ejemplos de familias de ideales tóricos que son intersección completa