RT info:eu-repo/semantics/bachelorThesis
T1 A primer on the study of one dimensional systems, Bethe ansatz and integrability.
A1 Pérez Cruz, Daniel
A2 Grado En Física
AB El objetivo de este trabajo es introducir y familiarizar al lector con las t´ecnicas y fundamentos del estudio de sistemas cu´anticos unidimensionales de muchos cuerpos. El an´alisisde este tipo de sistemas comenz´o poco despu´es de la formulaci´on ondulatoria de la mec´anicacu´antica de Schr¨odinger (1926), y uno de los pioneros en este ´area fue Hans Bethe (1931).En su estudio del magnetismo cu´antico introdujo su famoso ansatz, el cual constituy´o laprimera soluci´on completa a un problema de muchos cuerpos en interacci´on. Su contribuci´onpasar´ıa desapercibida hasta que, en 1963, Lieb y Liniger utilizaran las ideas desarrolladaspor Bethe para resolver el problema de N bosones en una dimensi´on interactuando a trav´esde un potencial tipo delta de Dirac. Esto abri´o un nuevo campo de estudio tanto en la f´ısicade sistemas cu´anticos fuertemente interactuantes como en el estudio de gases cu´anticos. Lareciente realizaci´on experimental de sistemas de este tipo ha provocado el aumento de losesfuerzos t´ecnicos para la obtenci´on de sistemas m´as variados, as´ı como intensos avanceste´oricos para proporcionar una descripci´on m´as detallada de su din´amica. La importancia detrabajar con sistemas unidimensionales no est´a solo en la mayor probabilidad de admitir unasoluci´on anal´ıtica, sino en los nuevos fen´omenos que es posible observar en una dimensi´on,por ejemplo, el proceso de fermionizaci´on.La primera parte del trabajo est´a dedicada a introducir al lector a la teor´ıa de colisiones,describiendo los elementos b´asicos necesarios, y haciendo un especial enf´asis en el an´alisis deproblemas unidimensionales.En la siguiente parte del trabajo introduciremos el concepto de integrabilidad. Surgeen el estudio de sistemas hamiltonianos cl´asicos y ha sido un ´area en el que los avancesse han dado, en su mayor´ıa, desde una perspectiva matem´atica. El m´etodo de Bethe ysus generalizaciones nos proveen con t´ecnicas para determinar si un sistema cu´antico esintegrable o no. El estudio de la integrabilidad en sistemas cu´anticos se ha convertido en un´area de intensa investigaci´on por las profundas implicaciones que tiene en la f´ısica estad´ısticacu´antica. Se estudia, cualitativamente, la relaci´on entre el ansatz de Bethe, la integrabilidaddel sistema y el proceso de termalizaci´on, analizando los mecanismos que permiten, o no, quese den estos procesos.El segundo paso, una vez introducido el ansatz de Bethe y sus propiedades ser´a usarlopara resolver el modelo de Lieb-Liniger original, tanto para un sistema de N bosones comopara el estado fundamental del l´ımite termodin´amico. Se utilizar´an m´etodos num´ericos pararesolver las ecuaciones obtenidas en ambos casos y se discuten los resultados obtenidos. Aqu´ıse obtiene por primera vez un indicio de la relaci´on entre el espectro de sistemas integrablesy la distribuci´on de autovalores de matrices aleatorias.El siguiente objetivo del trabajo ser´a realizar un an´alisis similar al anterior pero paraun sistema en el que tres bosones interact´uan a trav´es de un potencial Gaussiano y no atrav´es de una delta de Dirac. Estudios te´oricos han obtenido que el sistema sigue siendointegrable para ciertos valores de los par´ametros del sistema. En este trabajo obtenemosresultados num´ericos que respaldan esto, as´ı como indicios de la ruptura de la integrabilidadpara valores medio-altos de la densidad. Estas conclusiones se obtienen a partir del estudiodel espectro de este modelo modificado.
YR 2022
FD 2022
LK http://riull.ull.es/xmlui/handle/915/29121
UL http://riull.ull.es/xmlui/handle/915/29121
LA es
DS Repositorio institucional de la Universidad de La Laguna
RD 24-nov-2024