Teoría del grado topológico y aplicaciones

Abstract

El objetivo de esta memoria es desarrollar la teor´ıa del grado topol´ogico y algunas de sus principales aplicaciones en an´alisis y topolog´ıa. En primer lugar, construimos el grado de una aplicaci´on continua en espacios de dimensi´on finita, que es lo que se conoce como el grado de Brouwer, y presentamos sus propiedades fundamentales. Posteriormente, utilizamos el grado de Brouwer para estudiar la existencia de soluciones de ecuaciones de la forma ϕ(x) = b y para demostrar algunos resultados cl´asicos de topolog´ıa. Por ´ultimo, probamos la unicidad del grado de Brouwer.

The aim of this memory is to develop the topological degree theory and some of its main applications in analysis and topology. First, we construct the Brouwer degree for continuous mappings in finite dimensional spaces, and we state its fundamental properties. Next, we use the Brouwer degree both to study the existence of solutions of equations of the form ϕ(x) = b and to prove some classical results in topology. Finally, we show the uniqueness of the Brouwer degree.