Teoría geométrica de funciones y aplicaciones

Abstract

El estudio de las funciones univalentes (holomorfas e inyectivas) en el disco unidad D, considerado piedra angular en la teor´ıa geom´etrica de funciones, es un ´area de investigaci´on ya cl´asica pero que sigue muy viva a d´ıa de hoy. Sin duda, la famosa conjetura de Bieberbach de 1916 (demostrada por de de Branges en 1984), impuls´o en gran medida el estudio de este tipo de funciones. En este trabajo, se revisan las principales propiedades que deben satisfacer las funciones en la c´elebre clase S de aplicaciones univalentes y normalizadas (de manera est´andar) en D y como muchas de ellas se deducen del teorema de Bieberbach. Tambi´en se estudia la teor´ıa de Loewner, de gran relevancia en esta ´area y parte fundamental en la demostraci´on de de Branges de la conjetura de Bieberbach. Por ´ultimo, y como muestra de la relaci´on entre la teor´ıa de funciones anal´ıticas y otras ´areas de las Matem´aticas (concretamente, la Mec´anica de Fluidos), se recogen algunos resultados recientes sobre las soluciones expl´ıcitas de la ecuaci´on bidimensional de Euler incompresible.

The study of univalent (holomorphic and injective) functions in the unit disk D, considered as a milestone in geometric function theory, is a classical subject of research which continues active nowadays. With no doubt, the famous Bieberbach conjecture from 1916 (proved by de Branges in 1984) was one of the main sources for the development of the analysis of the properties of this type of functions. In this Bachelor Thesis, we review the main properties that a function in the class S of univalent mappings in the unit disk (normalized in the standard way) must satisfy. Most of them are derived from the classical Bieberbach theorem. An indepth analysis of Loewner’s theory, of great relevance in the area (and a fundamental tool in de Branges’ proof of the Bieberbach conjecture) is developed as well. Finally, and as a proof of the relationship between Complex Analysis and other areas of Mathematics (in particular, Fluid Mechanics), we review some recent results on explicit solutions of the incompressible Euler equation.