Un estudio de la complejidad topológica generalizada y dirigida

Abstract

Una noci´on que ha suscitado gran inter´es dentro de las aplicaciones de la Topolog´ıa Algebraica es la de complejidad topol´ogica. Se trata de un invariante num´erico de homotop´ıa con motivaci´on y aplicaci´on directa en distintos problemas relativos a sistemas mec´anicos y Rob´otica. En esta memoria profundizaremos en el estudio de dos versiones de la misma. Comenzaremos variando la definici´on original dando lugar a la complejidad topol´ogica generalizada y analizando en qu´e casos ambas nociones son equivalentes. El segundo objetivo del trabajo se centra en la noci´on de espacio topol´ogico dirigido. Dicha clase de espacios se concibe como un marco te´orico para aquellos procesos f´ısicos y computacionales donde el tiempo no es reversible. Para los mismos establecemos la complejidad topol´ogica dirigida, bas´andonos en las ideas anteriores y encontrando substanciosas conexiones con las versiones cl´asica y generalizada.

One notion that has aroused great interest within the applications of Algebraic Topology is that of topological complexity. It is a numerical homotopy invariant with motivation and direct application in different problems related to mechanical systems and Robotics. In this memory we will delve into the study of two versions of it. We will begin by varying from the original definition to the generalized topological complexity, and analysing in which cases both concepts are equivalent. The second objective of the paper lies in the concept of directed topological spaces. These spaces are conceived as a theoretical framework for those physical and computational processes where time is not reversible. For them we establish the directed topological complexity.