La construcción de los números reales.

Abstract

En este trabajo se presenta la construcci´on de los n´umeros reales. Veremos dos m´etodos diferentes: las cortaduras de Dedekind y las sucesiones de Cauchy. Comenzamos con los n´umeros naturales, los enteros y los racionales. En Q hay “lagunas”o “huecos”, lo que se manifiesta, por ejemplo, en la imposibilidad de encontrar un racional q que resuelva q 2 = 2. Las cortaduras de Dedekind se definen como subconjuntos de Q, con ciertas propiedades especiales de manera que cada una de ellas define un n´umero real. Finalizaremos esta parte demostrando que R, definido de esta forma, es un cuerpo ordenado y completo. El m´etodo de las sucesiones de Cauchy atiende a que Q no es sucesionalmente completo se define cada n´umero real como una clase de sucesiones de Cauchy, de modo que dos son equivalentes cuando la diferencia de ambas converge a 0. El conjunto R as´ı construido es de nuevo un cuerpo ordenado y completo. Los dos cuerpos ordenados obtenidos mediante los dos procedimientos son isomorfos, de forma que se define el conjunto de los n´umeros reales como cualquiera de las dos estructuras asi obtenidos.

In this work the construction of real numbers is presented. We will look at two different methods: Dedekind cuts and Cauchy sequences. We start with the natural, integers and rational numbers. In Q there are “gaps”, which is manifested, for example, in the impossibility of finding a rational q that solves q 2 = 2. Dedekind cuts are defined as subsets of Q, with certain special properties such that each of them defines a real number. We will finish this part by showing that R, defined in this way, is a complete ordered field. In the Cauchy sequences method, taking into account that Q is not successionally complete, each real number is defined as a class of Cauchy sequences, so that two are equivalent when the difference of both converges to 0. The set R thus constructed is again a complete ordered field. The two ordered fields obtained by the two procedures are isomorphic, so that the set of real numbers is defined as either of the two structures thus obtained.