El teorema de la aplicación de Riemann

Abstract

El principal objetivo de esta memoria es demostrar el Teorema de representación conforme de Riemann, o teorema de la aplicación de Riemann, siguiendo el espíritu de la prueba original propuesta por Riemann. La memoria se divide en tres capítulos. En el primero estudiamos las funciones holomorfas y las funciones armónicas en dominios de C. Damos una descripción de los dominios simplemente conexos en términos del índice de curvas cerradas contenidas en el mismo. El problema de Dirichlet en el disco unidad admite solución única y esta puede ser representada por la integral de Poisson. Finalizamos el capítulo con el principio de Harnack para funciones armónicas positivas. El segundo capítulo se dedica al problema de Dirichlet en dominios planos. Para ello estudiaremos el método de Perron. Este método proporciona, por maximalidad, una función armónica asociada de manera natural al problema de Dirichlet en dominios arbitrarios. La convergencia al dato de frontera de la solución de Perron se presenta introduciendo el concepto de punto frontera regular. Los dominios regulares son precisamente aquellos donde es posible resolver el problema de Dirichlet. Los puntos regulares admiten a su vez barreras subarmónicas, y esto es condición suficiente para la convergencia al dato frontera. En el caso particular de dominios planos simplemente conexos es posible construir una barrera subarmónica en todo punto frontera. Para ello se emplearán propiedades de las funciones holomorfas. En el tercer y último capítulo definimos las aplicaciones conformes como aquellas que conservan ángulos en magnitud y sentido. Estas son precisamente las funciones holomorfas e inyectivas con derivada no nula. Finalizamos la memoria con las prueba del teorema de la aplicación de Riemann y del teorema de Carathéodory. Este último sobre la extensión a la frontera de la aplicación de Riemann cuando el dominio está delimitado por una curva de Jordan.

The main objective of this memoir is to give a proof of Riemann’s conformal representation theorem, as well called the Riemann’s mapping theorem, following, in spirit, the original proof proposed by Riemann. The memoir is divided into three chapters. In the first one we study holomorphic and harmonic functions in domains of C. We give a description of simply connected domains in terms of the index of closed curves contained inside the domain. Dirichlet’s problem in the unit disk admits a unique solution which it can be represented by the Poisson’s integral of the boundary data. We end the chapter with Harnack’s principle for positive harmonic functions. The second chapter is devoted to Dirichlet’s problem in arbitrary bounded domains of the complex plane. We will study Perron’s method. Such method provides, by maximality, a natural candidate to solution of Dirichlet’s problem, namely the Perron’s solution. The convergence to the boundary data is presented in terms of regular points on the boundary of the domain. Regular domains are precisely those where it is possible to solve Dirichlet’s problem. A suffient condition for a boundary point to be regular it can be given by using subharmonic barriers. In the particular case of simply connected bounded domains, the subharmonic barrier is constructed using properties of holomorphic functions. In the third and last chapter we will study conformal mappings. They are those that conserve angles both, in magnitude and in orientation. We end the memoir with the proof of Riemann’s mapping theorem as well as with Carathéodory’s theorem. This last one about the extension of the Riemann’s map when the boundary of the domain is a Jordan curve.