Teoremas de interpolación en espacios de Lebesgue

Abstract

En esta memoria analizamos los dos teoremas de interpolación clásicos: el Teorema de Riesz-Thorin y el Teorema de Marcinkiewicz. En el estudio de estos resultados son fundamentales los espacios de Lebesgue en espacios de medidas, tanto los clásicos como los espacios de Lebesgue de tipo débil. Desarrollamos los principales aspectos de la teoría en torno a las clases de Lebesgue. Entre ellos, probamos las desigualdades de Hölder y de Minkowski y establecemos que los espacios de Lebesgue son completos. Asimismo estudiamos diferentes relaciones entre los espacios de Lebesgue y algunos resultados de aproximación. La convolución en los espacios de Lebesgue es otro de los temas que abordamos resaltando la importancia de los núcleos de sumabilidad. Por último demostramos los teoremas de interpolación mencionados y mostramos su utilidad en la acotación del operador maximal de Hardy-Littlewood.

In this work we analyze the two classical interpolation theorems: The Riesz-Thorin Theorem and the Marcinkiewicz Theorem. In the analysis of these two results the Lebesgue spaces on measure spaces are essential, both the classical and the weak type ones. We develop the main aspects in the theory of the Lebesgue classes. Among them, we prove the Hölder and the Minkowski inequalities and establish that the Lebesgue spaces are complete. In addition we study different relations between Lebesgue spaces and give some approximation results. The convolution on the Lebesgue spaces is another of the issues we address, highlighting the importance of the summability kernels. Finally we prove the aforementioned interpolation theorems and show their utility in the boundedness of the Hardy-Littlewood maximal operator.