Optimización en problemas de juegos bipersonales

Abstract

La Teor´ıa de Juegos estudia situaciones en la que determinados actores (jugadores) compiten o colaboran para conseguir fines particulares. Muchos de estos casos se pueden modelizar matem´aticamente precisando la resoluci´on de diversos problemas de optimizaci´on. En este trabajo se hace un estudio de los juegos bipersonales de suma nula y de los juegos bimatriciales. En el primer caso, cuando se produce una jugada, la suma de la ganancias de ambos jugadores es igual a cero. En el segundo caso, no existe esta condici´on para las ganancias de los jugadores intervinientes. Nos interesa, preferentemente, la relaci´on de los dos tipos de juegos con los problemas de optimizaci´on. En el caso de los juegos bipersonales de suma nula, observamos que con las herramientas que proporciona la Programaci´on Lineal, somos capaces de determinar puntos de equilibrio que proporcionan estrategias mixtas ´optimas para los jugadores. En el caso de los juegos bimatriciales, su formulaci´on equivalente como problemas complementarios lineales proporciona la determinaci´on de los correspondientes equilibrios de Nash. El trabajo se completa con la relaci´on de conceptos y propiedades que se precisan para plasmar las ideas anteriores, introducir los m´etodos de resoluci´on necesarios y aplicar estos a varios ejemplos con la ayuda de soporte computacional.

Game Theory studies situations in which certain actors (players) compete or collaborate to achieve particular ends. Many of these cases can be mathematically modeled requiring the resolution of various optimization problems. In this project, a study of two-person zero-sum games and bimatricial games is made. In the first case, when a play occurs, the sum of the winnings of both players is equal to zero. In the second case, there is no such condition for the winnings of the participating players. We are interested, mainly, in the relationship of the two types of games with the optimization problems. In the case of two-person zero-sum games, we observe that with the tools provided by Linear Programming, we are able to determine equilibrium points that offer optimal mixed strategies for the players. In the case of bimatricial games, their equivalent formulation as linear complementary problems provides the determination of the corresponding Nash equilibria. The project is completed with the relationship of concepts and properties that are required to capture the previous ideas, introduce the necessary resolution methods and apply these to various examples with the help of computational support.