Fractal analysis of large-scale structures

Abstract

Con el avance de los tiempos se han ido definiendo estructuras o formas que ayudaran al ser humano a comprender mejor su entorno, a aproximarlo de alguna manera a su entendimiento. Es durante los siglos XIX-XX que aparece una nueva forma, lo que se pasar´ıa a llamar un fractal, un objeto matem´atico cuya aparente irregularidad se repite a diferentes escalas. Un objeto que no sigue la geometr´ıa de Euclides. Un objeto que, a pesar de estas curiosas caracter´ısticas, se puede vislumbrar en las costas, en las hojas de helecho o en la espuma cu´antica. Hausdorff plante´o una de las primeras definiciones de dimensi´on que se podr´ıa aplicar a un fractal, abriendo la puerta al c´alculo de la dimensi´on fractal, que ser´a la piedra angular de este trabajo. Se puede entender de muchas formas, pero la que mejor se adapta al inter´es de este trabajo es que la dimensi´on fractal proporciona una idea de lo irregular que es una distribuci´on. De c´omo se distribuyen los puntos que componen una estructura. Esto indica que puede dar informaci´on sobre el agrupamiento de una distribuci´on. En este trabajo se medir´a la dimensi´on fractal de las estructuras a gran escala del universo, a fin de comprobar si siguen una distribuci´on homog´enea. Para ello se emplear´an datos provistos por el conjunto de datos de grupos de galaxias BOSS (Baryon Oscillation Spectroscopic Survey) que forma parte del SDSS (Sloan Digital Sky Survey). En concreto, se trabajar´a con los datos conjuntos de los dos algoritmos de selecci´on de BOSS, para el casquete gal´actico norte: LOWZ, que selecciona objetos hasta un redshift tal que z ≈ 0.4 y CMASS, que selecciona objetos en un rango de 0.4 < z < 0.7. Este conjunto de ambos se denomina CMASSLOWZTOT North, y proporciona datos de unos 953255 objetos. El objetivo principal ser´a estudiar c´omo var´ıa la dimensi´on fractal de estas estructuras a gran escala con la distancia com´ovil, y analizar si los resultados coinciden con aquellos indicados en la literatura. Para lograr este objetivo se medir´a la dimensi´on fractal a trav´es de varios m´etodos: algoritmos de box-counting, la funci´on de correlaci´on de dos puntos y la transformada de Hankel del espectro de potencias. En primer lugar, para realizar los an´alisis con los programas de box-counting, ser´a necesario tener un mapa de la distribuci´on de los objetos en el cielo. Para ello se emplear´a la muestra proporcionada por SDSS y, con el lenguaje de programaci´on Python, se dibujar´a este mapa de distribuci´on. Los primeros m´etodos de box-counting que se emplear´an dividir´an este mapa en peque˜nas cajas bidimensionales, donde solo se tendr´an en cuenta para el tratamiento aquellas que tengan,al menos, un objeto en su interior. En uno de los m´etodos, las cajas no se superpondr´an, sino que ser´an adyacentes unas con otras (m´etodo est´andar), y en el otro, las muestras se superpondr´an entre s´ı (m´etodo gliding ; deslizante). Por otra parte, para el tercer m´etodo de box-counting, se tendr´a en cuenta una tercera componente, ya que dividir´a el set de datos en cubos. La tercera componente se dar´a poniendo el mapa de distribuci´on en escala de grises, donde la escala de grises corresponder´a a la distancia com´ovil. De esta manera se tendr´a una medici´on de la dimensi´on fractal a trav´es de tres m´etodos de box-counting. Continuando con los algoritmos de box-counting, se realizar´a una medici´on del m´etodo est´andar y del m´etodo de escala de grises formando el mapa del cielo con Healpix, que reproducir´a el cielo en una superficie esf´erica dividida en p´ıxeles de ´areas iguales, permitiendo asi una representaci´on m´as realista del cielo al seguir su geometr´ıa. El siguiente paso corresponder´a a emplear la funci´on de correlaci´on de dos puntos para realizar el c´alculo de la dimensi´on fractal. Se utilizar´a para calcular la funci´on de estructura, g(r) = 1 + ξ(r), su gradiente log-log (la funci´on de gradiente), γ(r) = dlog g(r)/dlog r, y la funci´on de dimensi´on fractal, D(r) = 3 + γ(r). En este caso, la funci´on de correlaci´on de dos puntos se obtendr´a midi´endola directamente, utilizando conteo de pares. Se emplear´a para este fin el estimador de Landy & Szalay. Una vez hecho esto, se proceder´a al c´alculo de la funci´on de correlaci´on de dos puntos v´ıa transformada de Hankel del espectro de potencias, y se seguir´a el mismo procedimiento anterior, es decir, calcular la funci´on de estructura, su gradiente log-log, etc. Una vez realizadas todas las mediciones para cada uno de los m´etodos, se encontrar´an los resultados mostrados en la Tabla 0. M´etodos SBC GBC GSBC HSBC HGSBC CF PS Dimensi´on Fractal Media 1.01 ± 0.08 1.12 ±0.08 2.42 ± 0.11 1.78 ± 0.04 1.40 ± 0.11 2.25± 0.03 2.22 ± 0.05 Tabla 0: Resultados obtenidos para la dimensi´on fractal media en un intervalo de 300 a 2400 [M pc h−1 ], para cada uno de los m´etodos. El error se ha estimado como la desviaci´on est´andar de las medidas. Adem´as, las siglas se refieren a: SBC- box-counting est´andar, GBC- box-counting deslizante, GSBC-box-counting en escala de grises, HSBC- box-counting est´andar con Healpix, BGSBC- box-counting en escala de grises con Healpix, CF - funci´on de correlaci´on, PS- espectro de potencias Encontr´andose que, para todos los m´etodos, se obtiene un car´acter homog´eneo de la dimensi´on fractal, aunque no se puede asegurar un ´unico valor, ya que difieren para cada m´etodo. Adem´as, en la literatura se encuentra que en estas escalas D ≈ 3, luego el m´etodo que m´as se acerca ser´ıa el que emplea escala de grises, aunque a´un estar´ıa lejos de esa cifra. Se concluir´a que se prueba la homogeneidad de las estructruras a gran escala en los intervalos analizados, aunque no con el mismo valor de la dimensi´on fractal dado por la literatura. A su vez, se propondr´a un estudio m´as detallado para poder localizar la franja en la que se pasa de un universo no homog´eneo a uno homog´eneo y, tambi´en, se propondr´a ahondar m´as en las relaciones entre la geometr´ıa fractal y la cosmolog´ıa siguiendo los pasos de diversos estudios. As´ı como tambi´en se propondr´a aumentar la escala en la que se han analizado los datos con el fin de tratar de obtener un resultado m´as acorde con el mostrado en la literatura.