La geometría del plano hiperbólico

Abstract

In this report, an introduction is made to the geometry of the hyperbolic plane, following an axiomatic scheme similar to that of euclidean geometry. The discovery of hyperbolic geometry has a major influence on human understanding of mathematics and the relationship to its physical applications. Its birth creates a geometry, which opens a new world where infinite parallels pass through another point to a line and the sum of the interior angles of a triangle is less than π. We find a new way of seeing geometry. In this dissertation, we describe and justify the basic properties of two-dimensional hyperbolic geometry in the superior semi-plane of Poincar´e, defined by the line l∞, whose lines are perpendicular rays to l∞ or semicircumference centered on l∞.

En esta memoria se hace una introducci´on de la geometr´ıa del plano hiperb´olico, siguiendo un esquema axiom´atico similar al de la geometr´ıa eucl´ıdea. El descubrimiento de la geometr´ıa hiperb´olica supone una gran influencia sobre la comprensi´on humana de las matem´aticas y la relaci´on con sus aplicaciones f´ısicas. Su nacimiento genera una geometr´ıa, que abre un nuevo mundo donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas y la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es menor que π. Nos encontramos con una nueva forma de ver la geometr´ıa. En este trabajo, se describe y justifica las propiedades b´asicas de la geometr´ıa hiperb´olica bidimensional en el modelo del semiplano superior de Poincar´e, definido por la recta de l∞, cuyas rectas son semirrectas perpendiculares a l∞ o semicircunferencias centradas en l∞.