La geometría del plano hiperbólico

Abstract

En esta memoria se hace una introducci´on de la geometr´ıa del plano hiperb´olico, siguiendo un esquema axiom´atico similar al de la geometr´ıa eucl´ıdea. El descubrimiento de la geometr´ıa hiperb´olica supone una gran influencia sobre la comprensi´on humana de las matem´aticas y la relaci´on con sus aplicaciones f´ısicas. Su nacimiento genera una geometr´ıa, que abre un nuevo mundo donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas y la suma de los ´angulos interiores de un tri´angulo es menor que π. Nos encontramos con una nueva forma de ver la geometr´ıa. En este trabajo, se describe y justifica las propiedades b´asicas de la geometr´ıa hiperb´olica bidimensional en el modelo del semiplano superior de Poincar´e, definido por la recta de l∞, cuyas rectas son semirrectas perpendiculares a l∞ o semicircunferencias centradas en l∞.

In this report, an introduction is made to the geometry of the hyperbolic plane, following an axiomatic scheme similar to that of euclidean geometry. The discovery of hyperbolic geometry has a major influence on human understanding of mathematics and the relationship to its physical applications. Its birth creates a geometry, which opens a new world where infinite parallels pass through another point to a line and the sum of the interior angles of a triangle is less than π. We find a new way of seeing geometry. In this dissertation, we describe and justify the basic properties of two-dimensional hyperbolic geometry in the superior semi-plane of Poincar´e, defined by the line l∞, whose lines are perpendicular rays to l∞ or semicircumference centered on l∞.