La derivada schwarziana

Abstract

En este Trabajo de Fin de Grado se presenta una demostraci´on del famoso criterio de univalencia (inyectividad de funciones holomorfas) de Nehari en t´erminos de la derivada schwarziana. Como se explicar´a a lo largo del trabajo (y tras revisar las propiedades del operador derivada schwarziana, su conexi´on con las transformaciones de M¨obius y algunas caracter´ısticas de las funciones univalentes en el disco unidad), el punto clave para la demostraci´on del mencionado resultado es la conexi´on entre la univalencia y las propiedades de los ceros de las soluciones de una ecuaci´on diferencial lineal homog´enea de segundo orden a trav´es de los teoremas de Sturm, que tambi´en ser´an revisados en la memoria para, finalmente, disponer de todas las herramientas necesarias para la demostraci´on del teorema de Nehari.

This undergraduate thesis presents a demonstration of Nehari’s famous univalence (injectivity of holomorphic functions) criterion in terms of the Schwarzian derivative. First, the properties of the Schwarzian derivative operator and its connection to M¨obius transformations are reviewed, as are some properties of univalent functions on the unit disk. As it will be explained throughout the work, Sturm’s theorem (which is also reviewed) is used to illustrate the connection between univalence and the zeros of the solutions of a second order homogeneous linear di↵erential equation, which is the key point in demonstrating Nehari’s result. Finally, with all necessary tools in hand, a proof of Nehari’s theorem is given.