Estudio geométrico de la ecuación de Hamilton-Jacobi
Fecha
2022Resumen
En esta memoria estudiamos los elementos geom´etricos necesarios
para describir geom´etricamente las soluciones parciales de la ecuaci´on
de Hamilton-Jacobi de la Mec´anica Cl´asica. Para ello presentamos
los espacios vectoriales simpl´ecticos, los cuales son necesarios para
definir la noci´on de variedad simpl´ectica. Estudiamos en detalle
las propiedades de las formas simpl´ecticas, y a continuaci´on
proporcionamos una demostraci´on del teorema de Darboux, que nos
garantiza una carta local para la variedad en la cual la forma
simpl´ectica admite una expresi´on bastante sencilla. Adem´as, como
un objeto geom´etrico esencial, describimos la estructura simpl´ectica
can´onica del fibrado cotangente. Finalmente, aplicamos los resultados
anteriores para la obtenci´on de soluciones parciales de la ecuaci´on
de Hamilton-Jacobi en un sistema Hamiltoniano completamente
integrable: una part´ıcula en el plano bajo la acci´on de un campo central. In this memory we study the necessary geometric objects to understand
the Hamilton-Jacobi equation in its geometric formulation. For this
purpose, we discuss symplectic vector spaces, which are required to
define the notion of a symplectic manifold. We study in detail the
properties of symplectic forms, and we provide a proof of Darboux’s
theorem, which proves the existence of a local chart for a symplectic
manifold in which the simplectic form admits a very simple expression.
Moreover, we describe the canonical symplectic structure of the
cotangent bundle. Finally, all the previous results are applied to obtain
partial solutions of the Hamilton-Jacobi equations associated with an
example of a completly integrable system: a particle in the plane under
the action of a central potential.