Introducción a los números p-ádicos

Abstract

Esta memoria trata de una introducci´on a los n´ umeros p-´adicos y consta de cuatro bloques. El primero consiste en fijar las bases para construir nuestra teor´ıa de los n´umeros p-´adicos. Esto incluye valoraciones, valores absolutos, distancias y anillos de valoraci´on. En la segunda parte, resolveremos congruencias de m´odulo pn y estudiaremos el Lema de Hensel para la existencia y unicidad de soluciones de polinomios m´odulo potencias de p. En la tercera, analizaremos los valores absolutos sobre Q, donde confirmamos esencialmente que solo existen tres tipos y construiremos el cuerpo de los n´ umeros p´adicos Qp. Por ´ ultimo, exploraremos el cuerpo Qp, abordando los enteros p-´adicos Zp y dando dos posibles descripciones de los elementos de Qp en t´ erminos de secuencias coherentes y de expansiones p-´adicas.

This introductory essay about p-adic numbers is divided into four sections. The first aims to establish the foundations for building our theory of p-adic numbers. This includes valuations, absolute values, distances, and valuation rings. In the second part, we will solve congruences modulo pn and study Hensel’s Lemma for the existence and uniqueness of solutions to polynomials modulo powers of p. The third section is an analysis of the absolute values on Q, where we confirm that essentially there are only three types and where we will construct the field of p-adic numbers, denoted by Qp. Lastly, we will explore the field Qp, discussing p-adic integers, denoted by Zp, and providing two possible descriptions of the elements in Qp in terms of coherent sequences and of p-adic expansions.