Aproximación Padé y Hermite-Padé

Abstract

Es bien sabido que mediante los polinomios de Taylor no es posible emular funciones meromorfas en todo su dominio, debido a la localizaci´on de sus respectivos polos. Esto deja de ser una barrera cuando se toma como aproximante una adecuada funci´on racional. As´ı, en la b´usqueda de la mejor aproximaci´on local mediante funciones racionales surgen los protagonistas de esta memoria, los aproximantes Pad´e. Si ampliamos nuestras aspiraciones a la aproximaci´on simult´anea de un vector de funciones aparecen de manera natural los aproximantes de Hermite-Pad´e. En ambos casos, obtener una caracterizaci´on del denominador ser´a esencial para obtener resultados importantes de convergencia. Para ello, restringiremos nuestro estudio a funciones de Markov, y en el caso m´ultiple adem´as a un sistema Angelesco. Asimismo, esta pondr´a de relieve la estrecha relaci´on entre la aproximaci´on Pad´e, la teor´ıa de polinomios ortogonales y las f´ormulas de cuadratura; y paralelamente lo har´a la correspondiente a la aproximaci´on Hermite-Pad´e con las pertinentes teor´ıas m´ultiples.

It is well known that through Taylor polynomials it is not possible to emulate meromorphic functions in their entire domain, due to the location of their respective poles.This is no longer a barrier when a suitable rational function is taken as approximant. Thus, in the search for the best local approximation through rational functions the protagonists of this report, Pad´e approximants, emerge. If we broaden our aspirations to the simultaneous approximation of a vector of functions, Hermite-Pad´e approximants appear naturally. In both cases, knowing a characterization of the denominator will be essential to obtain important convergence results. Therefore, our study will be reduced to Markov functions, and in the multiple case in addition to an Angelesco system. Also, it will highlight the close relationship among Pad´e approximation, orthogonal polynomials theory and quadrature formulas; and in parallel, that of the Hermite-Pad´e approximation with the multiples theories pertinent.