Semigrupos numéricos e ideales asociados

Abstract

El objetivo de esta memoria es introducir al lector a la Teor´ıa de Semigrupos Num´ericos y de Bases de Gr¨obner, mostrando alguna interacci´on entre ellas. En primer lugar estudiamos la estructura de semigrupo num´erico. Demostramos que todo semigrupo num´erico est´a finitamente generado y tiene un ´unico sistema minimal de generadores. Tambi´en estudiamos diversos conjuntos notables asociados como el conjunto de Ap´ery y el de huecos. En el segundo cap´ıtulo estudiamos la teor´ıa cl´asica de Bases de Gr¨obner. Comenzamos introduciendo un orden monomial en el anillo de polinomios sobre un cuerpo, lo que nos permite descubrir un algoritmo de divisi´on que generaliza la divisi´on eucl´ıdea y, haciendo uso del mismo, hallar sistemas generadores de ideales con propiedades deseables. Finalmente, afrontamos dos problemas de la Teor´ıa de Semigrupos: el de pertenencia a un semigrupo y el de obtenci´on del conjunto de Ap´ery, ambos empleando las herramientas que brindan las bases de Gr¨obner.

This manuscript aims to introduce the reader to both Numerical Semigroups and Gr¨obner Bases theories, showing some interactions between them. In the first chapter, we study the structure of numerical semigroup. We prove that every numerical semigroup is finitely generated and has a unique minimal set of generators. We also study several relevant sets associated to the semigroup as the Ap´ery set and the set of gaps. In the second chapter, we study classical Gr¨obner Bases theory defining a monomial order in the polynomial ring over a field. We describe a division algorithm which allows us to generalise the Euclidean division and we use this tool to find generating systems for ideals with reasonably good properties. Finally, we approach two problems of Numerical Semigroups theory: the semigroup membership problem and the computation of the Ap´ery set, both of them applying tools given by Gr¨obner bases.