Métodos de Krylov para sistemas lineales

Abstract

Los subespacios de Krylov, que deben su nombre al matem´atico ruso Aleks´ei Krylov, son hoy en d´ıa la base sobre la que se fundamentan los m´etodos iterativos modernos a la hora de calcular vectores y valores propios o para resolver sistemas de ecuaciones lineales Ax = b, empleando una menor cantidad de memoria y tiempo de proceso que el resto de m´etodos convencionales. Sin ir m´as lejos, los m´etodos num´ericos de Gauss-Seidel y Jacobi, que se ense˜nan a lo largo del Grado, presentan un rendimiento bastante pobre cuando se les aplica a problemas diferenciales en 2 y 3 dimensiones espaciales. As´ı, estos algoritmos basados en estos subespacios, llamados m´etodos de subespacios de Krylov,han registrado buenos resultados dentro del ´algebra lineal num´erica. Entre ellos, los m´as conocidos son el m´etodo del Gradiente Conjugado (GC) junto a su variante para ecuaciones normales (GCNR) y el M´etodo del Residual M´ınimo Generalizado (GMRES), siendo su eficiencia y tasa de convergencia los aspectos clave en torno a los cuales gira el estudio acometido en este trabajo. Todo ello quedar´a reflejado gr´aficamente a lo largo del ´ultimo cap´ıtulo, en el que se detallar´a el comportamiento de estos m´etodos aplicados a Ecuaciones en Derivadas Parciales lineales el´ıpticas y comparando c´omo var´ıan los resultados al aplicar precondicionamiento a la matriz de los sistemas resultantes de su discretizaci´on espacial mediante diferencias Diferencias Finitas.

Krylov subspaces, which owe their name to the Russian mathematician Aleks´ei Krylov are today the basis on which modern iterative methods are based when calculating vectors and eigenvalues or solving systems of linear equations Ax = b, using a smaller amount of memory and CPU time than the rest of conventional methods. Without going any further, the numerical methods of Gauss-Seidel and Jacobi, which are taught throughout the degree, show a rather poor performance when applied to differential problems in two and three spatial dimensions. Thus, algorithms based on these subspaces, called Krylov subspace methods, have great acceptance in numerical linear algebra. Among them, the best known are the Conjugate Gradient (GC) method with its variant for normal equations (GCNR) and the Generalized Minimum Residual Method (GMRES), being their efficiency and convergence rate the key aspects of the study undertaken in this work. All this will be reflected graphically throughout the last chapter, which will detail the behavior of these methods applied to linear elliptic Partial Differential Equations and comparing how the results vary when applying preconditioning to the matrix resulting after spatial discretization by means of Finite Differences.