Una introducción matemática a la Teoría del sonido

Abstract

Una Introducción Matemática a la Teoría del Sonido es un trabajo que consta de dos partes y un anexo final. El eje central del trabajo es el estudio de la producción del sonido de las distintas familias organológicas, dejando a un margen (por limitaciones de espacio y tiempo) los instrumentos electrófonos que darían para todo un trabajo en sí. En el primer capítulo introducimos los aspectos básicos y necesarios para comprender los cálculos y resultados que llevan el análisis de las ecuaciones de ondas que se trabajarán en el Capítulo 2. En este capítulo introducimos brevemente la Teoría de Fourier, fundamental para el análisis de la ecuación de onda unidimensional que caracteriza a los instrumentos de cuerda y viento, y las funciones de Bessel, cruciales para las Secciones 2.3 y 2.4 que tratan las familias de membranófonos e idiófonos, respectivamente, centrando nuestro estudio en el tambor, el xilófono y las campanas tubulares. Estas secciones (2.3 y 2.4) analizarán la ecuación de onda bidimensional de grado uno y cuatro, respectivamente. Bajo ciertas suposiciones, se obtienen una serie de condiciones que permiten realizar un análisis del movimiento y del desplazamiento de la onda, para terminar deduciendo los modos vibracionales que generarán el timbre de los correspondientes instrumentos. El anexo final recoge toda la información acerca de la deducción de la ecuación de onda en dimensiones uno, dos, y tres.

A Mathematical Introduction to Sound Theory is a work that contains two parts and a final annex. The central axis of the work is the study of the sound production of the different organological families, leaving to a margin (because of time and space reasons) the electrophones instruments that would give for a whole work in itself. In the first chapter, we introduce the basic and necessary aspects to understand the calculations and results that lead the analysis of the wave equations that will be considered in Chapter 2. In this chapter we introduce the Fourier Theory, that is fundamental for the analysis of the one-dimensional wave equation that characterizes string and wind instruments, and Bessel functions, that are crucial for the Sections 2.3 and 2.4 that treat the families of membranophones and idiophones, respectively, centering our study on the drum, the xylophone, and the tubular bells. These sections (2.3 and 2.4) will analyze the two-dimensional wave equation of degree one and four, respectively. Under different assumptions, a series of conditions that allow an analysis of the movement and the displacement of the wave are reached, to end deducing the vibrational modes that will generate the timbre of the corresponding instruments. The final annex gathers all the information about the deduction of the wave equation in dimensions one, two, and three.