Fundamentos de la homología persistente y su código de barras asociado

Abstract

El An´alisis Topol´ogico de Datos es un campo reciente de la matem´atica aplicada cuyo objetivo es determinar, mediante t´ecnicas topol´ogicas, propiedades cualitativas de conjuntos de datos. En este trabajo se desarrollan los fundamentos topol´ogicos y algebraicos de la Homolog´ıa Persistente, una de las herramientas principales del An´alisis Topol´ogico de Datos. La homolog´ıa persistente mide la evoluci´on de las caracter´ısticas topol´ogicas de una filtraci´on de complejos simpliciales. Dicha evoluci´on puede ser representada mediante una colecci´on de segmentos, conformando el denominado c´odigo de barras. A partir del c´odigo de barras se puede decidir qu´e datos pueden ser considerados como ruido y cu´ales son fundamentales. En la ´ultima parte de la memoria se proporciona un algoritmo que calcula el c´odigo de barras de una filtraci´on de complejos simpliciales de forma eficiente.

Topological Data Analysis is a recent field in applied mathematics whose goal is to determine –through topological techniques– qualitative properties of data sets. This memoir expands on the topologic and algebraic foundations of Persistent Homology – one of the principal tools of Topological Data Analysis–. Persistent Homology measures the evolution of topological features of a filtration of a simplicial complex. This evolution can be represented by a collection of segments, forming the so-called barcode. From the barcode it is possible to decide which features can be considered as noise and which ones are essential. The last part of the memoir provides an algorithm that calculates the barcode of a simplicial complex efficiently.