Métodos numéricos para la resolución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones.

Abstract

El objetivo de este trabajo es el estudio de algunos m´etodos para la resoluci´on de problemas de valor inicial (PVI) en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). En particular, nos centraremos en tres m´etodos b´asicos: el m´etodo de Euler expl´ıcito, el de Euler impl´ıcito y la regla trapezoidal. Demostraremos teoremas cl´asicos de convergencia de dichos m´etodos as´ı como su orden y su estabilidad lineal. Posteriormente, estudiaremos la aplicaci´on de dichos m´etodos a dos problemas representativos. El primero es un PVI lineal que proviene de la discretizaci´on espacial de la ecuaci´on del calor, y el segundo es un problema no lineal que modeliza una reacci´on qu´ımica compleja.

The study of some numerical methods for the solution of initial value problems (IVP) in ordinary differential equations (ODE) is the main goal of this work. In particular, we will focus our attention on three basic schemes: the forward Euler method, the backward Euler and the trapezoidal rule. We will show classic theorems on the convergence of these methods, as well as their properties of order and linear stability. In the last chapters we will apply these methods to two representative problems. The first one is a linear IVP that comes from the spatial discretization of the heat equation, and the second one is a non-linear problem that models a complex chemical reaction.