Métodos de tipo Runge-Kutta y linealmente implícitos para la resolución de EDOs.

Abstract

En la presente memoria, realizamos una introducci´on a m´etodos num´ericos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Definimos y caracterizamos los conceptos de estabilidad, consistencia y convergencia de m´etodos de un paso. En particular, presentamos los m´etodos de tipo Runge-Kutta (RK), una importante familia de m´etodos de un paso. A efectos de estudiar el orden de convergencia de dichos m´etodos, introducimos la teor´ıa de ´arboles de Butcher. Dicha teor´ıa presenta una soluci´on elegante y natural al problema de analizar la comparativa entre el desarrollo en serie de potencias de la soluci´on del problema y la aproximaci´on dada por el m´etodo num´erico. En resumen, asociamos grafos a las diferenciales elementales, obtenidas de las derivadas sucesivas de la soluci´on, encontrando as´ı una serie de condiciones que definen el orden de un m´etodo. Posteriormente, presentamos una serie de condiciones que nos permiten simplificar la b´usqueda de m´etodos de orden superior. Gracias a dichas condiciones, encontramos nuevas familias de m´etodos que presentan el mayor orden con la menor cantidad de etapas. Entre estos m´etodos se encuentran los m´etodos RK impl´ıcitos de alto orden, los basados en las cuadraturas de Gauss, Radau y Lobatto y los m´etodos RK de colocaci´on. Finalmente, para facilitar la implementaci´on de estos m´etodos, hemos centrado nuestro inter´es en aquellos que requieren un menor esfuerzo computacional, los m´etodos DIRK y SDIRK. En relaci´on a los m´etodos DIRK se introducen las familias de m´etodos linealmente impl´ıcitos de tipo ROW y W y se estudia su consistencia. Para terminar, comparamos en algunos ejemplos num´ericos el orden de convergencia y la eficiencia de algunos m´etodos presentados a lo largo del trabajo.

In this report, we make an introduction to numerical methods to solve ordinary differential equations. We define and characterize the concepts of stability, consistency and convergence of a one-step method. In particular, we introduce Runge-Kutta (RK) methods, a celebrated family of one-step methods. In order to study the convergence of these methods, we introduce the Butcher tree theory. This theory presents an elegant and natural solution to the problem of analyzing the comparison between the development in series of powers of the solution of the problem and the approximation given by the numerical method. In summary, we associate graphs with the elementary differentials, obtained from the successive derivatives of the solution, thus finding a series of conditions that define the order of a method. Subsequently, we present a series of conditions that allow us to simplify the search for higher order methods. Thanks to these conditions, we find new families of methods that present the highest order with the fewest stages. These methods include high-order implicit RK methods, those based on Gauss, Radau and Lobatto quadratures, and RK collocation methods. Finally, to facilitate the implementation of these methods, we have focused our interest on those that require a less computational effort, DIRK and SDIRK methods. In relation to DIRK methods, the families of linearly implicit methods of ROW- and W-type are introduced and their consistency is studied. To finish, we compare on some numerical examples the order of convergence and the efficiency of some methods presented throughout the work.