Teoría de la dimensión. Anillos noetherianos

Abstract

La dimensi´on de Krull es una herramienta algebraica que pemite clasificar anillos conmutativos y unitarios. Los teoremas que se establecen a trav´es de su estudio posibilitan conocer las propiedades de los ideales contenidos en dichos anillos, especialmente los ideales primos, as´ı como proporcionar condiciones necesarias y/o suficientes para asentar determinadas cualidades de los anillos. Dichos teoremas son especialmente sustanciosos cuando trabajamos sobre anillos noetherianos, por ello, tendr´an un papel protagonista a lo largo del texto. Nuestro objetivo en este trabajo ser´a el de definir de forma rigurosa qu´e es la dimensi´on de Krull de un anillo, as´ı como todos los t´erminos relacionados con la misma. Una vez hecho esto, emplearemos los conocimientos adquiridos para probar el Teorema de los ideales principales de Krull y una generalizaci´on del mismo, caracterizaremos la dimensi´on de determinados anillos y probaremos el Teorema de Kaplansky. Adem´as, daremos varias aplicaciones de dichos teoremas, la mayor´ıa en anillos de polinomios. Finalmente, expondremos una demostraci´on de inter´es para el tema en cuesti´on, que ser´a la descripci´on de un anillo noetheriano con dimensi´on de Krull infinita.

Kull dimension is an algebraic tool that allows us to characterize and classify commutative rings with unit. The theorems established through its study make it possible to know the properties of the ideals contained in these rings, especially the prime ideals, and providing necessary or sufficient conditions to establish properties of the rings. These theorems are especially useful when we work on Noetherian rings. Most of the results will be related to them. Our goal will be to define rigorously what is the Krull dimension of a ring. After this, we will use the acquired knowledge to prove Krull’s principal ideals theorem, and a generalization of it, we will characterize the dimension of some rings and prove Kaplansky’s theorem. Also, we will present further applications of these theorems, most of them in polynomial rings. Finally, we will show a proof of interest for the topic in question, the description of a Noetherian ring with infinite Krull dimension.