Cuasi-ortogonalidad y fórmulas de cuadratura positivas en el eje real

Abstract

Los polinomios cuasi-ortogonales surgen de la construcci´on de f´ormulas de cuadratura con grados de precisi´on intermedios entre el de las de tipo interpolario y el de las f´ormulas Gaussianas. A partir de una funci´on peso ω con soporte en el intervalo [a, b] abordamos una introducci´on a la Teor´ıa de Polinomios Ortogonales (existencia y unicidad, leyes de recurrencia, propiedades de ceros, expresi´on determinantal, matrices de Jacobi, etc) y a la construcci´on y caracterizaci´on de f´ormulas de cuadratura de tipo interpolatorio y de tipo Gauss, como reglas de integraci´on num´erica para la estimaci´on de integrales definidas en el intervalo [a, b] con respecto a la funci´on peso ω. El objetivo fundamental de este trabajo es extender dicha teor´ıa al contexto de la cuasi-ortogonalidad, estableciendo algunas de las propiedades generales conocidas en la literatura y profundizando para los casos particulares de ´ordenes uno y dos. Esta Memoria finaliza con una aplicaci´on a la caracterizaci´on de f´ormulas de cuadratura positivas con nodos prefijados no necesariamente en los extremos del intervalo de integraci´on.

Quasi-orthogonal polynomials arise from the construction of quadrature formulas with degrees of accuracy between those of interpolatory type and Gaussian rules. Starting from a weight function ω supported on the interval [a, b] we consider an introduction to the Theory of Orthogonal Polynomials (existence and unicity, recurrence relations, properties of zeros, determinantal formula, Jacobi matrices, etc) and to the construction and characterization of quadrature formulas of interpolatory type and Gauss-type, as rules of numerical integration for the estimation of definite integrals on the interval [a, b] with respect to the weight function ω. The main purpose of this project is to extend such theory to the context of quasi-orthogonality, establishing some of the well known general properties in the math literature and deepening in the particular cases of orders one and two. This report concludes with an application to the characterization of positive quadrature formulas with prescribed nodes, not necessarily at the endpoints of the interval of integration.